Algojáték 4. gyakorlat megoldókulcs

A 8 órakor kezdődő gyakorlat a $$\sigma_{8} = \frac{15}{25} \chi_{\text{vall}} + \frac{10}{25} \chi_{\text{hallgat}}$$ kevert stratégiát játssza, a 14 órakor kezdődő pedig a $$\sigma_{14} = \frac{16}{29} \chi_{\text{vall}} + \frac{13}{29} \chi_{\text{hallgat}}$$ kevert stratégiát.

A 8 órakor kezdődő gyakorlat várható nyeresége tehát $$ \begin{align*} u_{8}(\sigma_{8}, \sigma_{14}) &= \frac{15}{25} \cdot \frac{16}{29} \cdot (-6) \\ &+ \frac{15}{25} \cdot \frac{13}{29} \cdot (0) \\ &+ \frac{10}{25} \cdot \frac{16}{29} \cdot (-10) \\ &+ \frac{10}{25} \cdot \frac{13}{29} \cdot (-0.5) \approx −4,2828 \end{align*} $$ a 14 órakor kezdődő gyakorlaté pedig $$ \begin{align*} u_{14}(\sigma_{8}, \sigma_{14}) &= \frac{15}{25} \cdot \frac{16}{29} \cdot (-6) \\ &+ \frac{15}{25} \cdot \frac{13}{29} \cdot (-10) \\ &+ \frac{10}{25} \cdot \frac{16}{29} \cdot (0) \\ &+ \frac{10}{25} \cdot \frac{13}{29} \cdot (-0.5) \approx −4,7656 \end{align*} $$

Interaktív widget

Interaktív widget

Interaktív widget

Alkalmazzuk a geometriai módszert paraméteresen!

A kérdés az, hogy mikor lesz a legjobb válaszokat reprezentáló ponthalmazoknak $0$, $1$, illetve legalább $2$ közös pontja a $(p,q) \in [0,1] \times [0,1]$ egységnégyzet belsejében. (Hiszen a négyzet oldalán legalább az egyik játékos tiszta stratégiát játszik.)

Általános alakban a sorjátékos nyereségmátrixa

Az egységnégyzet belsejében csak akkor választunk ki legjobb választ reprezentáló pontot, ha valamilyen $0 \lt q \lt 1$ esetén $$(a-b-c+d) \cdot q + (b-d) = 0$$, hiszen ekkor lesz $p \in [0,1]$ tetszőleges.

1. eset: Ha $(a-b-c+d) \neq 0$, akkor $q = \frac{d-b}{a-b-c+d}$.
Ez egy, a $p$ tengellyel párhuzamos, a $q$ tengelyt a $\frac{d-b}{a-b-c+d}$ pontban metsző szakaszt határoz meg.
Ez akkor van a négyzet belsejében, ha $$0 \lt \frac{d-b}{a-b-c+d} \lt 1$$

2. eset: Ha $(a-b-c+d) = 0$ és $(b-d)=0$, azaz ha $b=d$ és $a=c$ teljesül.
Ebben az esetben az egységnégyzet minden pontját kiválasztjuk.

Minden más esetben nincs belső pontja az egységnégyzetnek, ami legjobb válasz lehetne, legyen ez a 3. eset.

• Ha valamelyik játékosra a 3. eset teljesül, akkor nincs valóban kevert Nash-egyensúly. (Példa)
• Ha mindkét játékosra az 1. eset teljesül, akkor pontosan egy valóban kevert Nash-egyensúly van, a két kiválasztott merőleges szakasz metszéspontja. (Példa)
• Ha az egyik játékosra az 1. és a másikra a 2. eset teljesül, akkor végtelen sok valóban kevert Nash-egyensúly van, a kiválasztott szakasz belső pontjai, melyek a másik játékos kiválasztott négyzetének is pontjai lesznek. (Példa)
• Ha mindkét játékosra a 2. eset teljesül, akkor a négyzet minden belső pontja valóban kevert Nash-egyensúly lesz. (Példa)

Az $\frac{1}{2} \chi_{A} + \frac{1}{2} \chi_{C}$ stratégia erősen dominálja a $B$ stratégiát. A $B$ stratégia eliminálása után az $\frac{1}{5} \chi_{X} + \frac{4}{5} \chi_{Y}$ erősen dominálja a $Z$-t. Az eliminálások után az alábbi $(2 \times 2)$-es mátrix maradt.

Interaktív widget

Az $\frac{1}{3} \chi_{A} + \frac{2}{3} \chi_{B}$ kevert stratégia erősen dominálja a $C$ stratégiát. A $C$ stratégia eliminálása után az $X$ erősen dominálja a $Z$-t. A $Z$ eliminálása után $A$ erősen dominálja a $B$-t. A $B$ eliminálása után megmarad két stratégiaválasztás, $(A, X)$ és $(A, Y)$.

A sorjátékos mindenképpen az egyetlen lehetséges stratégiáját választja. Az oszlopjátékos indifferens a két tiszta stratégiájára, ezért kevert Nash-egyensúly lesz az oszlopjátékos minden lehetséges kevert stratégiája, tiszta Nash-egyensúlyok ezen belül az $(A, X)$ és $(A, Y)$ tiszta stratégiaválasztások.

Legyen az $a$ és $c$ közötti szolgáltató az oszlopjátékos, a $b$ és $d$ közötti pedig a sorjátékos! A lehetséges stratégiáik az egyes választható útvonalak, melyeket $o1, o2, o3$, illetve $s1, s2, s3, s4$ címkézünk és a költségeik az alábbiak szerint alakulnak.

1. $s2$ erősen dominálja $s3$-mat
2. A maradék játékban $o1$ erősen dominálja $o2$-t.
3. A maradék játékban $s2$ erősen dominálja $s1$-et.

Interaktív widget

Legyen $p$ a szarvas stratégia valószínűsége a keresett kevert stratégiaválasztásban! A játékosok várható nyeresége két részből áll:

• Az aktuális játékos $p$ valószínűséggel választja a szarvast, ebben az esetben $p^{n-1}$ valószínűséggel kap 100 Ft-ot, amikor mindenki más is azt választja.
• Az aktuális játékos $(1-p)$ valószínűséggel választja a libát, ekkor garantáltan 2 Ft-ot kap.

Tegyük fel, hogy van ettől különböző kevert Nash-egyensúly! Legyen a sorjátékos ehhez tartozó kevert stratégiaválasztása $$\sigma_s = p_k \chi_{\text{kő}} + p_p\chi_{\text{papír}} + p_o\chi_{\text{olló}}$$

Szimmetriaokokból feltehetjük, hogy $p_o = \max(p_o, p_k, p_p)$. Ezután három eset van:

1. eset: $p_{k}, p_{p} \lt p_{o}$

Az oszlopjátékos várható nyeresége negatív, ha papírt játszik, hiszen $$u_o(\sigma_s, \text{papír}) = p_k - p_o < 0$$ illetve pozitív, ha követ, hiszen $$u_o(\sigma_s, \text{kő}) = p_o - p_p > 0$$ tehát ebben az esetben nem legjobb válasz a papír, az oszlopjátékos kevert stratégiaválasztásában ez nem szerepelhet.

2. eset: $p_{k} < p_{p} = p_{o}$

Hasonlóan, annyi különbséggel, hogy most $$u_o(\sigma_s, \text{kő}) = p_o - p_p = 0$$ tehát ebben az esetben sem legjobb válasz a papír, az oszlopjátékos kevert stratégiaválasztásában ez nem szerepelhet.

3. eset: $p_{p} < p_{k} = p_{o}$

Hasonlóan, annyi különbséggel, hogy most $$u_o(\sigma_s, \text{papír}) = p_k - p_o = 0$$ tehát ebben az esetben sem legjobb válasz a papír, az oszlopjátékos kevert stratégiaválasztásában ez nem szerepelhet.

Beláttuk, hogy az oszlopjátékos kevert stratégiaválasztásában nincs papír. Ebből következik, hogy $p_k=1$, amire az egyetlen legjobb válasz a sorjátékos részéről a papír, ez pedig nem Nash-egyensúly, ellentmondásra jutottunk.