1.
Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer megoldásait az a paraméter függvényében!

x - y + z = 1
2x + y + 5z = 5
x + 3y + 5z = a

Megoldás

A Gauss-elimináció alkalmazásával (ha nem számoljuk el) azt kapjuk, hogy az egyenletek bal oldalai lineárisan összefüggők.

Konkrétan az is kiolvasható az elimináció folyamatából (de kis ügyességgel akár az eredeti egyenletekből is), hogy a második sor 4-szereséből kivonva az első sor 5-szörösét éppen a harmadik sor háromszorosát kapjuk.

Pontosan akkor létezik tehát megoldás, ha ez az összefüggés a jobboldalakra is fennáll. Ebből a feltételből a=5 adódik.

Ha a=5, akkor a megoldás (pl. z értékét szabadon válsztva) x=2-2z, y=1-z, egyébként pedig nincs megoldás.

2.
Határozzuk meg az x + y + z = 5 egyenletű sík és a 2x - y - 2z = 3 egyenletű sík metszésvonalának azt a pontját, amelyik az xy síkba (vagyis az x tengely és az y tengely által meghatározott síkba) esik.

Megoldás

Az adott metszéspont meghatározásához három lineáris egyenletre van szükségünk. Ebből kettő benne van a feladat szövegében. A harmadikat pedig az xy sík egyenlete jelenti, mely nyilván z=0.

Az egyenletrendszert Gauss-elimináció útján megoldva a három változóra egyértelmű megoldás adódik, éspedig (x, y, z)=(8/3, 7/3, 0).

3.
Az $1,2,\ldots,n$ számok tetszőleges $\sigma$ permutációjához rendeljük hozzá a $J(\sigma)$ számot, ami a $\sigma(1),\sigma(2),\ldots,\sigma(n)$ sorozatban azon elempárok száma, amelyek nem állnak inverzióban egymással. Továbbá jelölje $I(\sigma)$a $\sigma$ permutáció inverzióinak a számát. Mely n-ekre létezik olyan $\sigma$permutáció, hogy $I(\sigma)$=$J(\sigma)$?

Megoldás

Definíció szerint $J(\sigma)$= ${n\choose{2}}-I(\sigma)$, keressük tehát azon n-eket, melyekre létezik ${n\choose{2}}/2$ inverziószámú permutáció. Mivel ${n\choose{2}}$ két szomszédos egész szám szorzatának fele, értéke pontosan akkor páros, ha a két szomszédos egész szám közül a páros osztható 4-gyel. Ez pontosan akkor teljesül, ha n 4-gyel osztva 0 vagy 1 maradékot ad. Így ettől eltérő n-ekre biztosan nem létezik megfelelő $\sigma$permutáció.

Legyen n megfelelő, azaz 4-gyel osztva 0 vagy 1 maradékot adó. Tekintsük az identitáspermutációt. Az elején álló egyes számot toljuk egyesével hátrébb ütközésig. Ezután az előre került kettest toljuk egyesével hátra stb. Így permutációk olyan sorozatát kaptuk, melyeknek inverziószáma lépésről lépésre 1-gyel nő. A végső állapotban a teljesen megfordított permutációval állunk szemben, melynek inverziószáma ${n\choose{2}}$. A közbenső permutációk közül valamelyiknek az inverziószáma szükségképpen pontosan ${n\choose{2}}/2$ volt, ezért a jó n-ekre valóban létezik is permutáció a kívánt tulajdonsággal.

4.
Az nxn-es A mátrix minden eleme páros szám. Tudjuk, hogy A determinánsa osztható 64-gyel, de nem osztható 128-cal. Adjuk meg n összes lehetséges értékét.

Megoldás

Tetszőleges $1 \le k \le 6$ értékre tekintsük a következő mátrixot: $a_{1,1}=2^{7-k}, 2 \le i \le k$ esetén ai,i=2, minden további elem 0. Eme mátrix értékei páros számok és determinánsa pontosan 64, ami osztható 64-gyel, de nem osztható 128-cal. Ezért n értéke biztosan lehet 1,2,3,4,5,6.

Tegyük fel, hogy $n \ge 7$. A determináns kifejtése során keletkező n! darab összeadandó mindegyike n darab páros szám szorzata. Ezért mindegyik összeadandó és így maga a determináns is osztható 2n-nel, ami $n \ge 7$ esetén osztható 128-cal.

Így a megfelelő n értékek: 1,2,3,4,5,6.

5.
Határozzuk meg az alábbi mátrix inverzét!


\begin{displaymath}\left( \begin{array}{ccccc} ~ & 1 & ~ & 2 & ~ \\ ~ & 1 & ~ & 1/2 & ~ \end{array} \right)\end{displaymath}

Megoldás

Tetszőleges 2x2-es (a,b,c,d) A mátrix inverze (d, -b, -c, a)/det A. A feladat konkrét értékeit helyettesítve (-1/3, 4/3, 2/3, -2/3) adódik.

6.
Legyen A egy nxn-es invertálható mátrix, B pedig egy olyan nxn-es mátrix, melyre AB=0. Igazoljuk, hogy ekkor B=0.

Megoldás

A feladat szövegében adott AB=0 egyenlőséget a szöveg szerint létező A-1-zel balról szorozva a baloldalon A-1AB=B, a jobboldalon pedig A-10=0 adódik és a két oldal egyenlősége éppen a bizonyítandó állítás.

7.
A V vektortér két alterének, V1-nek és V2-nek a nullvektor az egyetlen közös eleme. Bizonyítsuk be, hogy ekkor $dim V_1 + dim V_2 \le dim V$.

Megoldás

Tekintsünk V1-ben és V2-ben egy-egy bázist. Mivel a két altér metszete csak a nullvektor, a két választott bázis elemei együtt lineárisan független rendszert alkotnak V-ben. A két bázis elemeinek száma ezért legfeljebb V bázisvektorainak száma, és ez utóbbi mondat egyenértékű a bizonyítandó állítással.

8.
Két játékos A és B egy kétszer kettes tábla mezőibe felváltva ír be valós számokat, amelyek egyike sem lehet nulla. Az A játékos célja, hogy a kialakuló 2x2-es M mátrix rangja 1 legyen, B pedig azt szeretné elérni, hogy M rangja legyen 2. Tételezzük fel, hogy A is és B is a lehető legjobban játszik. Ki fog nyerni, ha A kezdi a játékot és ki fog nyerni, ha B kezd?

Megoldás

Mindkét esetben a nem kezdő nyer.

Ha a játékot A kezdte, akkor az utolsó lépés B-é. Az ekkor még üresen maradt mező átlójában álló másik elem legyen a, a további kettő szorzata legyen b, a feltétel szerint sem a, sem b nem lehet 0. B ekkor a szintén nem nulla b/a-val veszít, bármilyen egyéb szám választása esetén nyer.

Ha a játékot B kezdi, akkor A stratégiája legyen az, hogy a B által beírt számot átmásolja ugyanazon sor másik üres helyére. A végül keletkező mátrix mindkét sora két azonos elemet tartalmaz, ezért a két sor egymásnak konstansszorosa. Mivel itt sem szerepelhet nulla az elemek között, a kialakult rang 1 lesz, így A nyert.

Vissza