Vektorterek II.

Vektorterek II.

1.: Bizonyítsuk be, hogy egy V vektortér összes vektora felírható Vbázisvektorainak lineáris kombinációjaként (tetszõleges bázist tekintve V-ben).
2.: A V vektortérben legyen egy altér V₁. Mutassuk meg, hogy $dim V_1\leq dim V$ .
3.: Bizonyítsuk be, hogy ha a V vektortérben az $(\underline{a}_1,\underline{a}_2,\ldots,\underline{a}_{k})$ egy lineárisan független rendszer és a $(\underline{b}_1,\underline{b}_2,\ldots,\underline{b}_{k+1})$ pedig egy generátorrendszer, akkor a két vektorrendszer közül pontosan az egyik bázist alkot V-ben.
4.: Legyenek $(\underline{a}_1,\underline{a}_2,\ldots,\underline{a}_{k})$ egy vektortér lineárisan független vektorai és legyen $\underline{x}=\sum_{i=1}^{k}{\lambda_{i}\underline{a}_i}$ . Bizonyítsuk be, hogy $\underline{a}_1\in$ $<\underline{x},\underline{a}_1,\underline{a}_2,\ldots,\underline{a}_{k}>$ akkor és csak akkor teljesül, ha $\lambda_1\neq0$ !
5.: Egy vektortérben az $\underline{a}_1,\underline{a}_2,\ldots,\underline{a}_{k}$ vektorok is, a $\underline{b}_1,\underline{b}_2,\ldots,\underline{b}_l$ vektorok is külön-külön lineárisan független rendszert alkotnak. Bizonyítsuk be, hogy ha $<\underline{a}_1,\underline{a}_2,\ldots,\underline{a}_{k}>\cap<\underline{b}_1,\underline{b}_2,\ldots,\underline{b}_l>={\{\underline0\}}$ , (vagyis a két altér metszete csak a zérus vektorból áll), akkor ez a k+ldarab vektor együtt is lineárisan független!
6.: Legyenek $\underline{a}$ , $\underline{b}$ , $\underline{c}$ lineárisan független vektorok és $\lambda$ skalár egy vektortérben. Elkészítjük az $\underline{a}+\underline{b}+\underline{c}$ , $\underline{a}-\underline{b}-\underline{c}$ , $\underline{b}-\lambda{\underline{c}}$ vektorokat. Határozzuk meg, hogy a $\lambda$ skalár mely értékei mellett lesz ez utóbbi három vektor lineárisan független és melyeknél összefüggõ.
7.: A síknak, mint R feletti vektortérnek lineáris transzformációi a tengelyekre való tükrözések, az y=x egyenesre való tükrözés, és minden $\alpha$ szögû, origó körüli elforgatás. Adjuk meg e leképezések mátrixát a szokásos bázisban.
8.: A legfeljebb 10-edfokú valós együtthatós polinomok vektorteret alkotnak R felett. Mutassuk meg, hogy a deriválás ennek a térnek egy $\Phi$ lineáris transzformációja. Írjuk fel $\Phi$ mátrixát egy tetszõlegesen megválasztott bázisban.
9.: Mit mondhatunk az A és B mátrixokról, ha tudjuk, hogy AB=BA?
10.: Bizonyítsuk be, hogy léteznek olyan A és B valós elemû mátrixok, melyekre AB=0, de egyik mátrix elemei között sincs 0.

Vissza