Sajátdolgok


1.
Tekintsük a legfeljebb hatodfokú p(x) polinomok vektorterét. Határozzuk meg az ebben a vektortérben értelmezett következő lineáris transzformációk sajátdolgait.


(a)
$f(x) \rightarrow 0$
(b)
$f(x) \rightarrow f'(x)$
(c)
$f(x) \rightarrow x^6$


2.
Adjuk meg a következő mátrix sajátértékeit, -vektorait és -altereit.
$\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & -2 \\ 3 & -2 & -3 \\ 6 & -6 & 1 \end{array} \right)$


3.
A négyzetes A mátrixra A=A3. Bizonyítsuk be, hogy A-nak van sajátvektora, és sajátértékei csak a -1, 0, 1 lehetnek.


4.
Tekintsük azt a lineáris transzformációt, amely a négydimenziós tér bázisvektorait ciklikusan egymásba viszi át. Mik ennek a transzformációnak a sajátdolgai?


5.
Számítsuk ki Ak jobboldali sajátértékeit és sajátvektorait minden $1 \leqslant k \leqslant n-1$ esetére, ha A-ra teljesül, hogy $A\cdot\left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}0 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_{n-1}\end{array}\right)$.

Vissza