Lineáris transzformációk

1.
Mi a képtere, magtere a szokásos háromdimenziós tér alábbi lineáris transzformációinak?

(a)
Az identitás-transzformáció.
(b)
A zérus-transzformáció.
(c)
Az x-tengelyre való vetítés.
(d)
Az y-z síkra való vetítés.

2.
A legfeljebb tizedfokú valós együtthatós polinomok körében értelmezett deriválásnak, mint lineáris transzformációnak mi a képtere illetve magtere?

3.
Igazoljuk, hogy bármely A lineáris leképezés esetén tetszőleges $\underline{u},\underline{v}$ vektorokra $A(\underline{u})=A(\underline{v})$ akkor és csak akkor igaz, ha $\underline{u}-\underline{v}\in Ker A$.

4.
Tudjuk, hogy egy A lineáris transzformáció magtere csak a nullvektorból áll. Igazoljuk az alábbi állításokat:
(a)
Tetszőleges nemnulla vektor képe nem nullvektor.
(b)
Bármely két vektor képe különböző.
(c)
A képtér dimenziója megegyezik a kiindulási vektortér dimenziójával.

5.
Egy lineáris transzformáció a V vektortér elemeit transzformálja. Mutassuk meg, hogy V-nek akkor és csak akkor van olyan bázisa, amelyre minden báziselem képe ugyanaz, ha a leképezés képterének dimenziója legfeljebb 1.

6.
A V vektortérnek legyen egy altere W. Adjunk példát olyan lineáris transzformációra, melynek W a képtere. Olyanra is, amelynek Wa magtere.

7.
Mely vektortereknek létezik olyan lineáris transzformációja, amelynél a kép- és a magtér egybeesik?

8.
Legyen az A mátrix által a V vektortéren megvalósított lineáris transzformáció olyan, hogy Ker A tartalmazza Im A-t. Mutassuk meg, hogy ekkor A2=0.

9.
Adjuk meg azokat a másodrendű valós mátrixokat, amelyek négyzete a nullmátrix.

10.
Mutassuk meg, hogy tetszőleges szigorú felső háromszögmátrixnak valamelyik pozitív egész kitevős hatványa nullmátrix.

11.
Legyenek A és B egy vektortér olyan lineáris transzformációi, amelyekre AB az identitás. Igaz-e, hogy BA is az identitás?

12.
Egy 100$\times$100-as R feletti mátrix rangja 50. Elérhető-e mindig egy alkalmas elem megváltoztatásával, hogy a rang 49-re, illetve 51-re változzon?

Vissza