Lineáris egyenletrendszerek, koordinátageometria I.

1.
Oldjuk meg a Gauss-féle elimináció módszerével a következő lineáris egyenletrendszereket.
 
(a) x-2y+z = -1
  6x+2z = 3
  -3x-6y+7z = 1
 
(b) x+3y-2z = 4
  2x+8y+3 = -1
  3x+13y-3z = 2

2.
Oldjuk meg a Gauss-féle elimináció módszerével a következő lineáris egyenletrendszereket.
 
(a) a+3b+c+4d = -5
  2a+3b-6c = 4
  -a+b+2c-d = -6
  3a+10b+c+d = 0
 
(b) x+2y-z-u+v = -1
  x+2y-z+v = 1
  -x-y+z+3u-2v = 2
  2x+2y-2z-5u+4v = -2
  3x+7y-3z+u+2v = 2
 
(c) 1 1 2 -1 3 $\,$ 0
  1 2 1 3 -2 $\,$ 0
  3 3 -1 2 1 $\,$ 0
  -1 1 2 3 -2 $\,$ 0
  2 -1 3 -2 1 $\,$ 0
         
(d) x+9y+2z-5u-3v = 9
  2y+3u = 5
  -2x-4z+u+6v = 3
  3x+5y+6z+6u-9v = 8
  8y-6u = 8
 
(e) a+2b-3c+d+e = 1
  a-b+c-3d-2e = -1
  2a+3b-2c+d+4e = -1
  a-2b+2c-d = -1
  -3a+b+c+2d+e = 1
 
(f) 1 2 -3 3 1 $\,$ 42
  2 1 2 1 2 $\,$ -42
  -1 3 1 2 1 $\,$ -42
  3 0 1 -1 3 $\,$ 84
  1 2 -1 1 -2 $\,$ -84

3.
Határozzuk meg a p paraméter függvényében az alábbi egyenletrendszer megoldásait.
x1-2x2+px3 = 4
3x1+x2-3x3 = -2
x1-x2+2x3 = 5

4.
Határozzuk meg az a és b paraméterek függvényében az alábbi egyenletrendszer megoldásainak számát.
3x1-5x2+16x3 = 37
x1+4x2-ax3 = 10
-14x1+bx2+9x3 = 8

5.
Oldjuk meg a következő egyenletet.($\star$)

\begin{displaymath}\frac{x-1972}{27}+\frac{x-1974}{25}+\frac{x-1976}{23}+\frac{x... ...7}{1972}+\frac{x-25}{1974}+\frac{x-23}{1976}+\frac{x-21}{1978} \end{displaymath}

6.
Határozzuk meg a (11, -7, -4), (5,8,-1), (2,9,13)pontokra fektetett sík egyenletét.

7.
Írjuk fel a (3,4,5) ponton átmenő, a 3x+y-3z=8egyenletű síkkal párhuzamos sík egyenletét.

8.
Hány közös pontja van az alábbi síkoknak?
(a)
x+y+z = 6
2x+3y-z = 4
  (b)
2x+3y-2z = 4
$-3x-4,\!5y+3z$ = -2
  (c)
x+y+z = 6
2x+3y-z = 4
-x-y+2z = 1

9.
Létezik-e olyan egyenes, amely az adott 3 sík mindegyikével párhuzamos? Ha igen, akkor adjuk meg közülük az origón átmenőt.
2x+4y+3z = 1    
x+7y+4z = 3    
3x-5y-z = 2    

10.
(a)
Adjuk meg p és q értékét úgy, hogy az alábbi síkok egy egyenesre illeszkedjenek.
2x+3y-z = 6
x-3y+2z = 5
4x-3y+pz = q
(b)
Most úgy válasszuk meg p és q értékét, hogy a síkoknak ne legyen közös pontjuk.
(c)
Milyen eset van még?

Vissza