Bevezetés a számításelméletbe 1. gyakorlat
9. feladatsor (2002. ápr. 19.)

1. Határozd meg tetszőleges $n$ pozitív egész számra
   1. az $n$-edik komplex egységgyökök összegét;
   2. az $n$-edik komplex egységgyökök szorzatát!
2. Határozd meg az alábbi halmazok számosságát:
   1. 0 és 1 közötti racionális számok halmaza;
   2. 0 és 1 közötti irracionális számok halmaza;
   3. a sík azon pontjainak halmaza, melyeknek mindkét koordinátája egész;
   4. a tér azon pontjainak halmaza, melyeknek mindhárom koordinátája racionális;
   5. a tér azon pontjának halmaza, melyeknek $x$ és $y$ koordinátája egész, $z$ koorditátja pedig irracionális!
3. Mi a számossága annak a halmaznak, melynek elemei azok a számok, melyek felírhatók $a+b\sqrt k$ alakban, ahol $k$ pozitív egész, $a$ és $b$ pedig racionális számok? (ZH. 1999. dec.)
4. Mi a valós számegyenesen megadható olyan nyílt intervallumok halmazának számossága, melyeknek mindkét végpontja racionális szám? (Vizsga, 1999. febr.)
5. Hányféleképpen lehet kiszínezni a természetes számokat
   1. két színnel;
   2. négy színnel úgy, hogy a színezés periodikus legyen; (A színezés periodikus, ha van olyan $p$ szám - periódus, melyre $n$ és $n+p$ szám színe mindig ugyanaz.)
   3. két színnel - pirossal és kékkel - úgy, hogy az első $n$ szám között több a kék, mint a piros minden $n$ esetén;
   4. három színnel úgy, hogy a szomszédos számok különböző színűek?
6. Mennyi az olyan 0-val kezdődő végtelen hosszú egész tagú sorozatok halmazának számossága, melyekben bármely két szomszédos tag különbsége 1 vagy -1? (Vizsga, 2001. jan.)
7. Bontsuk a sík összes egyeneseinek halmazát két részhalmazra: $H_1$-et alkossák az origón átmenő egyenesek, $H_2$-t a többi egyenes. Határozzuk meg $H_1$ és $H_2$ számosságát! (ZH. 2000. dec.)
8. Hány olyan végtelen hosszú $0-1$ sorozat van, amiben az 1-esek száma véges ? (Vizsga, 1999. jan.)