Bevezetés a számításelméletbe 1. gyakorlat
1. feladatsor (2002. febr. 15.)

1. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely párhuzamos a $3x+y-3z=8$ egyenletű síkkal, és átmegy a $(3,4,5)$ ponton, ill. amelyik átmegy az origón!
2. Határozd meg az $x+y+z=5$ és a $2x-y-2z=3$ egyenletű síkok metszésvonalának azt a pontját, amelyik az $xy$ síkba ($x$ és $y$ tengelyek által meghatározott síkba) esik! (ZH. 1999. nov.)
3. Az $e$ egyenes egyenlete $$\frac{x-2}3=\displaystyle\frac y4=\displaystyle\frac{z+1}3$$. Írd fel az irányvektorát! Ennek segítségével határozd meg annak az egyenesnek az egyenletrendszerét kétféleképpen (paraméteresen is), amely párhuzamos $e$-vel, és áthalad a $P (1,-3,0)$ ponton!
4. Számítsd ki az $x-2=-\displaystyle\frac{y+4}2=z-4$, és $$\frac{x-5}2=\displaystyle\frac{y-4}3=-\displaystyle\frac{z+1}2$$ egyenesek metszésponját!
5. Határozzuk meg a háromdimenziós térben az $(1,1,1)$ és a $(2,2,4)$ pontokon átmenő egyenesnek és a $2x+3y-z=2$ egyenletű síknak a metszetét! (ZH. 2000. nov.)
6. Írd fel az $A(1,2,-1)$, $B(2,-2,3)$, $C(1,0,-2)$ pontokon átmenő sík egyenletét!
7. A $t$ paraméter mely értékére lesz az alábbi három egyenlettel megadott síkoknak egynél több közös pontja: (ZH. 1998. nov.)
   $$\begin{eqnarray*} x+2y+z&=&4\\ 2x+y+8z&=&5\\ 5x+y+tz&=&11 \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

8. Döntesd el, hogy az alábbiakban megadott $V$ alaphalmaz a $\oplus$-szal jelölt vektorösszeadással és a $\odot$-tal jelölt skalárral való szorzással vektorteret alkot-e?
   1. $V$ az egész számok halmaza, $\oplus$ az egészek összeadása, $\lambda\odot v=v$ minden skalár és $v\in V$ esetén.
   2. $V$ a racionális számok halmaza, $\oplus$ a racionális számok összeadása, $\lambda\odot v=\left[\lambda\cdot v\right]$, ahol a $\left[\quad\right]$ a szám egészrészét jelöli.
   3. $V$ a pozitív valós számok halmaza, $u\oplus v=u\cdot v$ (azaz a $\oplus$ a valós számok szorzása!), $\lambda\odot v=v^{\lambda}$.
   4. $V$ a valós számok halmaza, $a\oplus b=a$, a skalárral való szorzás a szokásos.
9. Fejezzük ki $R^4$-ben az $(1,1,1,1)$ vektort az $(1,1,1,0)$, $(1,1,0,1)$, $(1,0,1,1)$, $(0,1,1,1)$ vektorok segítségével!
10. $R^4$ vektorai közül melyek fejezhető ki az alábbi vektorok segítségével: $(1,0,0,0)$, $(1,2,0,0)$, $(1,2,3,0)$, $(1,2,3,4)$?