Bevezetés a számításelméletbe II.
9. gyakorlat 2003. április 11.
 
 
Lineáris kongruenciák

 

1. Az $x \equiv 2 \pmod{3}$ és az $x\equiv 5 \pmod{6}$ állítások közül melyik következik a másikból?

2. Oldjuk meg a $5x\equiv -10 \pmod{15}$ és a $24 x \equiv 4\pmod{7}$ kongruenciákat (külön-külön)!

3. Van-e megoldása az alábbi kongruenciának $m=9,10$ és 11 esetben? Ha igen, oldjuk is meg a kongruenciát!
   
   $$6x \equiv 4 \pmod{m}$$
   
   

4. Oldjuk meg az alábbi kongruenciákat:
   1. $14 x \equiv 8 \pmod{21}$ ,
   2. $102 x + 48 \equiv 0 \pmod{45}$,
   3. $4 x \equiv 20 \pmod{14}$ ,
   4. HF $45 x \equiv 120 \pmod{96}$ ,
   5. HF $6 x +1 \equiv 10 \pmod{15}$ .

5. Keressük meg az alábbi lineáris diofantikus egyenletek egy-egy megoldását!
   1. $27x + 31 y = 5$
   2. $21x + 35 y = 14$
   3. HF $91x + 129 y = 39$

6. Keressük meg a
   $$\begin{eqnarray*} 3x &\equiv& 2 \pmod{5} \\ 4x &\equiv& 1 \pmod{7} \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   
   kongruenciák közös megoldását!

7. Mutassuk meg, hogy páros $n$ szám esetén a modulo $n$ redukált maradékrendszer mérete nem nagyobb a teljes maradékrendszer méretének felénél?

8. HF Melyik $n$ számokra teljesül, hogy a modulo $n$ redukált maradékrendszer mérete megegyezik a teljes maradékrendszer méretének felével?

9. HF Melyik az a legkisebb $b$ pozitív egész, amelyre a
   
   $$20 x \equiv b \pmod{16}$$
   
   
   kongruencia megoldható? Oldjuk is meg!