Bevezetés a számításelméletbe II.
11. gyakorlat 2003. április 25.
Elem rendje, ciklikus csoport, részcsoport, Lagrange-tétel, izomorfia
- Ciklikus csoport-e az
halmaz a modulo 7 szorzással?
- Hány eleme van a
diédercsoportnak? (A
diéder csoport
alatt a szabályos
szög egybevágósági transzformációiból alkotott
csoportot értjük.)
- Abel-csoportról van-e szó?
- Ciklikus-e a csoport?
- Van-e
-nek olyan részcsoportja, amelyik izomorf a modulo
összeadás csoportjával a
esetekben?
- Mutassuk meg, hogy minden prímrendű csoport ciklikus is!
- Mutassuk meg, hogy minden ciklikus csoport kommutatív is!
- Egy
csoportnak az
egységtől különböző
elemeire
. Bizonyítsuk be, hogy
.
- Mi a helyzet, ha azt tudjuk,
hogy a három elem az egységtől különbözik és
?
- Legyen
és
egy csoport két tetszőleges eleme. Bizonyítsuk
be, hogy ekkor
rendje megegyezik
rendjével.
- HF Mutassuk meg, hogy tetszőleges
számhoz található olyan
véges csoport, melynek rendje pontosan
? És ciklikus csoport?
- HF Legyen
. Az
hosszú 0-1 sorozatok
halmazán
jelölje + a bitenkénti modulo 2 összeadást. Álljon
azokból a
sorozatokból, melyekben az egyesek száma kettővel osztható.
pedig azokból, melyekben az egyesek száma osztható hárommal.
Mutassuk meg, hogy az előbb
definiált művelettel
csoportot alkot! Részcsoport-e
illetve
?
- HF Bizonyítsuk be, hogy egy csoport nem állhat elő két valódi
részcsoportjának uniójaként! (Egy részcsoport valódi, ha nem tartalmazza a csoport összes elemét.)
- HF Legyen
egy 2001 rendű csoport és
egy 23-rendű eleme.
Határozzuk meg
rendjét!
- HF Legyen
egy kommutatív csoport és az
elemek rendje
illetve
. Bizonyítsuk be, hogy
osztja az
és
legkisebb közös többszörösét.
- HF A kocka szimmetria csoportjának (azaz egybevágósági
transzformációiból alkotott csoportjának) mekkora a legnagyobb rendű
részcsoportja, amely részcsoport marad,
- ha egy lapot kékre festünk;
- ha két párhuzamos lapot kékre festünk?
(1. megjegyzés: tehát csak a kék részt kékbe vivő transzformációk
fordulhatnak elő egy részcsoportokban. )
Fogaras Daniel
2003-04-25