Bevezetés a számításelméletbe II.
11. gyakorlat 2003. április 25.
 
 
Elem rendje, ciklikus csoport, részcsoport, Lagrange-tétel, izomorfia

 

1. Ciklikus csoport-e az $\{1,2,3,4,5,6\}$ halmaz a modulo 7 szorzással?

2. 1. Hány eleme van a $D_5$ diédercsoportnak? (A $D_n$ diéder csoport alatt a szabályos $n$ szög egybevágósági transzformációiból alkotott csoportot értjük.)
   2. Abel-csoportról van-e szó?
   3. Ciklikus-e a csoport?
   4. Van-e $D_5$-nek olyan részcsoportja, amelyik izomorf a modulo $k$ összeadás csoportjával a $k=2,3,5,10$ esetekben?

3. Mutassuk meg, hogy minden prímrendű csoport ciklikus is!

4. Mutassuk meg, hogy minden ciklikus csoport kommutatív is!

5. 1. Egy $G$ csoportnak az $e$ egységtől különböző $a,b,c$ elemeire $a^3=b^5=c^7=e$. Bizonyítsuk be, hogy $\vert G\vert>100$.
   2. Mi a helyzet, ha azt tudjuk, hogy a három elem az egységtől különbözik és $a^{12}=b^5=c^7=e$ ?

6. Legyen $a$ és $b$ egy csoport két tetszőleges eleme. Bizonyítsuk be, hogy ekkor $b$ rendje megegyezik $a^{-1} b a$ rendjével.

7. HF Mutassuk meg, hogy tetszőleges $n>0$ számhoz található olyan véges csoport, melynek rendje pontosan $n$? És ciklikus csoport?

8. HF Legyen $n\ge 4$. Az $n$ hosszú 0-1 sorozatok $H_1$ halmazán jelölje + a bitenkénti modulo 2 összeadást. Álljon $H_2$ azokból a sorozatokból, melyekben az egyesek száma kettővel osztható. $H_3$ pedig azokból, melyekben az egyesek száma osztható hárommal. Mutassuk meg, hogy az előbb definiált művelettel $H_1$ csoportot alkot! Részcsoport-e $H_2$ illetve $H_3$ ?

9. HF Bizonyítsuk be, hogy egy csoport nem állhat elő két valódi részcsoportjának uniójaként! (Egy részcsoport valódi, ha nem tartalmazza a csoport összes elemét.)

10. HF Legyen $G$ egy 2001 rendű csoport és $g \in G$ egy 23-rendű eleme. Határozzuk meg $g^2$ rendjét!

11. HF Legyen $G$ egy kommutatív csoport és az $a,b$ elemek rendje $o(a)=n$ illetve $o(b)=k$. Bizonyítsuk be, hogy $o(ab)$ osztja az $n$ és $k$ legkisebb közös többszörösét.

12. HF A kocka szimmetria csoportjának (azaz egybevágósági transzformációiból alkotott csoportjának) mekkora a legnagyobb rendű részcsoportja, amely részcsoport marad,
    1. ha egy lapot kékre festünk;
    2. ha két párhuzamos lapot kékre festünk?
    (1. megjegyzés: tehát csak a kék részt kékbe vivő transzformációk fordulhatnak elő egy részcsoportokban. )