Bevezetés a számításelméletbe II.
8. gyakorlat 2002. április 4-5.
Csütörtök 10-12 IB-140 és péntek 8-10 IB-145
 
 
Oszthatóság

 

1. Bizonyítsuk be, hogy ha $2^n-1$ prím, akkor $n$ szükségszerűen prím.

2. Lehet-e 4 egymásutáni prímszám összege prím?

3. Ha $b$ osztója $a$-nak, akkor mik lehetnek az értékei a $d(a,a+b)$ és a $d(2a, a-b)$ legnagyobb közös osztóknak?

4. Bizonyítsuk be, hogy négy egymást követő pozitív egész szám között mindig van olyan, amelyik a másik három mindegyikéhez (külön-külön) relatív prím. (ZH feladat)

5. Az euklideszi algoritmus segítségével számítsuk ki a 396 és a 210 számok legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét.

6. Mutassuk meg, hogy az
   $$\frac{a^3 + 2a }{ a^4 + 3 a^2 +1 }$$
   tört egyetlen $a$ egész esetén sem egyszerűsíthető. (Vigyázat, itt nem polinomok legnagyobb közös osztójáról van szó, mert polinomok esetén megengedett a tört együttható is!)

7. Legyenek $k$ és $n$ olyan pozitív egészek, amelyekre $k<n$. Mi a legnagyobb közös osztója az $n!+1$ és az $(n+1)!+k$ számoknak? (ZH feladat)

8. Melyik az a legkisebb pozitív szám, amely osztóinak száma 9?

9. HF Határozzuk meg a $d(9k+4,2k-1)$ legnagyobb közös osztót, majd ennek segítségével igazoljuk, hogy $9k+4$ és $2k-1$ legkisebb közös többszöröse legalább $k^2$, ha $k\ge 3$.

10. HF A $b$ és $c$ számok relatív prímek és különbségük osztható 5-tel. Igazoljuk, hogy $b+c$ és $2b+7c$ is relat relatív prímek.

11. HF Mutassuk meg, hogy nincs olyan háromjegyű szám, amely osztóinak száma osztható lenne 11-gyel.

12. HF Péter a XX. század második felében született, éppen nagyapja 53. születésnapján. Kettejük születési évszámai nem relatív prímek. Hány éves Péter? (ZH feladat)