Bevezetés a számításelméletbe II.
11. gyakorlat 2002. április 25-26.
Csütörtök 10-12 IB-140 és péntek 8-10 IB-145
 
 
Lagrange tétele, homomorfizmus, faktorcsoport

 

1. Az valós számok összeadás művelettel vett csoportjának részcsoportja-e
   1. az irracionális számok;
   2. a nemnegatív egészek;
   3. a páros számok?
2. Legyen $G$ a nem nulla valós számok halmaza a szorzással és $H$ a valós számok az összeadással, továbbá $f$ az $x \mapsto \vert x\vert$ leképezés.
   1. Homomorfizmus-e valamelyik csoporton az $f$ leképezés?
   2. Ha igen, mi a leképezés magja és képe?
3. Mutassuk meg, hogy minden ciklikus csoport kommutatív is.
4. Egy $G$ csoportnak az $e$ egységtől különböző $a,b,c$ elemeire $a^3=b^5=c^7=e$. Bizonyítsuk be, hogy $\vert G\vert>100$.
5. Igazoljuk, hogy minden prím rendű csoport ciklikus is.
6. Legyen $G$ egy tetszőleges csoport és $f(x):=x * x$ egy leképezés $G$ elemeiről $G$ elemeire. Bizonyítsuk be, hogy $f$ akkor és csak akkor homomorfizmus, ha $G$ kommutatív.
7. A G csoport elemei az $n+ki$ alakú komplex számok, ahol $n=0,1,\dots,4$ és $k=0,1,2$. Az $\oplus$ művelet az alábbi képlettel adott:
   $$(n_1+k_1 i) \oplus (n_2+k_2 i) := (n_1+n_2 \pmod{5})+(k_1+k_2 \pmod{3})i.$$
   1. A $H$ elemeit alkossák a $(n+0i)$ alakú (valós) számok. $H$ részcsoportja-e $G$-nek?
   2. Ábrázoljuk a komplex számsíkon a $H$ jobb- és baloldali mellékosztályait, és igazoljuk, hogy $H$ normálosztó.
   3. Mivel izomorf a $G/H$ faktorcsoport?
8. HF Legyen $G$ egy 2001 rendű csoport és $g \in G$ egy 23-rendű eleme. Határozzuk meg $g^2$ rendjét! (2001 prímfelbontása: $2001= 3 \cdot 23 \cdot 29$)
9. HF Legyeb $G$ egy kommutatív csoport és az $a,b$ elemek rendje $o(a)=n$ illetve $o(b)=k$. Bizonyítsuk be, hogy $o(ab)$ osztja az $n$ és $k$ legkisebb közös többszörösét.
10. HF Lássuk be, hogy egy Abel-csoport bármely részcsoportja normálosztó.
11. HF Izomorf-e a modulo 4 maradékosztályok additív csoportja a modulo 8 redukált maradékosztályok multiplikatív csoportjával.
12. HF Legyen $G$ az egész számok az összeadással és $H$ a 3-mal osztható számok halmaza.
    1. Igazoljuk, hogy $H$ részcsoportja $G$-nek.
    2. Mik lesznek a $H$ bal- illetve jobboldali mellékosztályai? Bizonyítsuk be, hogy $H$ normálosztó.
    3. Mivel izomorf a $G/H$ faktorcsoport?