Next: About this document ...
Bevezetés a számításelméletbe II.
10. gyakorlat 2002. április 18-19.
Csütörtök 10-12 IB-140 és péntek 8-10 IB-145
Csoportok
- Csoportot illetve félcsoportot alkot-e az alább megadott
halmaz a
művelettel?
az egész számok halmaza és az
számokra
, ahol a szokásos összeadás szerepel;
- Legyen
egy rögzített szám és
. Továbbá
; (Megjegyzés: a válasz függ attól, hogy
milyen szám.)
az egész számok halmaza és az
számokra
;
azon
függvények halmaza, melyek
alakúak, ahol
. A
művelet pedig a függvények egymás után való alkalmazása (amit analízisből
-vel jelöltetek.) (ZH feladat)
- HF
azon modulo
maradékosztályok halmaza, amelyek
-mel relatív prímek. Továbbá
;
- HF
egy halmaz hatványhalmaza (összes részhalmazinak halmaza), és az
részhalmazokkal
(amit szimmetrikus differenciának is neveznek);
- HF
a valós számok halmaza és
. (ZH feladat)
- HF
a 2002 pozitív osztóinak halmaza, és az
számokra
, azaz
és
legnagyobb közös osztója.
- Ciklikus csoport-e az
számhalmaz a modulo 7 szorzással? (ZH feladat)
- Legyen
és
egy csoport két tetszőleges eleme. Bizonyítsuk be, hogy ekkor
rendje megegyezik
rendjével.
- Hány eleme van a
diédercsoportnak? (A
diéder csoport alatt a szabályos
szög egybevágósági transzformációiból alkotott csoportot értjük.) Ciklikus-e a csoport? Keressünk néhány valódi részcsoportot bennük és vizsgáljuk meg, hogy azok ciklikusak-e.
- HF A kocka szimmetria csoportjának (azaz egybevágósági transzformációiból alkotott csoportjának) mekkora a legnagyobb rendű részcsoportja, amely részcsoport marad,
- ha egy lapot kékre festünk;
- ha két párhuzamos lapot kékre festünk?
(1. megjegyzés: tehát csak a kék részt kékbe vivő transzformációk fordulhatnak elő egy részcsoportban. 2. megjegyzés: egy ,,alakzat szimmetria csoportja'' és a permutációkból alkotott ,,szimmetrikus csoport'' nem keverendő össze.)
- HF Mutassuk meg, hogy tetszőleges
számhoz található olyan véges csoport, melynek rendje pontosan
? És ciklikus csoport?
- HF Legyen
. Az
hosszú 0-1 sorozatok
halmazán jelölje + a bitenkénti modulo 2 összeadást. Álljon
azokból a sorozatokból, melyekben az egyesek száma kettővel osztható.
pedig azokból, melyekben az egyesek száma osztható hárommal. Az előbb definiált művelettel csoportot alkot-e
? Csoport-e
? (ZH feladat)
- HF Bizonyítsuk be, hogy egy csoport nem állhat elő két valódi részcsoportjának uniójaként.
- HF Mutassuk meg, hogy tetszőleges
prím esetén
. (Segítség: használjuk Wilson tételét.)
- HF Mennyi
, ha
-
;
-
? (Ez a feladat visszavezethető egy lineáris kongruencia megoldására.)
- HF Tudjuk, hogy az
egész számra
és
. Milyen maradékot ad 31-gyel való osztáskor az
szám? (ZH feladat)
- HF Mi az utolsó két számjegye (tízes számrendszerben) az alábbi számnak: (ZH feladat)
Next: About this document ...
Fogaras Daniel
2002-04-23