Bevezetés a számításelméletbe
9. gyakorlat 2002, november 4.
Lineáris leképezések
- Legyen
egy
méretű mátrix és
egy
magas vektor. Melyik igaz az alábbi állítások közül?
- Ha az
oszlopai lineárisan függetlenek, akkor az
egyenletrendszernek létezik megoldása.
- Ha az
sorai lineárisan függetlenek, akkor az
egyenletrendszernek létezik megoldása.
- Legyen
a legfeljebb harmadfokú és
a legfeljebb
másodfokú polinomok tere. Az
leképezés pedig egy
függvényhez
-et
rendeli. Igazoljuk, hogy lineáris a leképezés! Mi a leképezés kép-
illetve magtere? Határozzuk meg ezek dimenzióját is! Írjuk fel a
leképezés
mátrixát, ahol
-
és
bázisai a
és
tereknek.
- Mennyi
? Ezt számítsuk ki mátrixszorzással is!
- Legyenek
és
lineáris leképezések, amelyekre
.
- Mivel egyezik meg
leképezés?
- Mutassunk példát olyan
és
transzformációkra, amelyek valamilyen origón átmenő egyenesre
történő tükrözések és kielégítik a feladat feltételeit? (Ilyenkor
- Alább egy
lineáris leképezés mátrixa látható a szokásos bázis(okban) felírva.
- Határozzuk meg
és
értékét!
- HF Adjuk is meg
és
egy-egy bázisát, majd ezek illetve
paraméterek segítségével írjuk fel az összes
és
-beli vektort!
- Határozzuk meg közvetlenül a definíciók felhasználásával
az
transzformációk
sajátértékeit, a hozzátartozó sajátvektorokat illetve altereket.
minden vektort kétszeresére nyújt;
minden vektort az
egyenesre merőlegesen vetít,
majd háromszorosára nyújt;
- HF
minden vektort az
-tengelyre tükröz.
- Mik a sajátértékei az alábbi mátrixoknak? Válasszunk ki egy
tetszőleges sajátértéket és adjuk meg a hozzátartozó sajátvektorokat
is (szabad paraméterek segítségével)!
-
- HF
- Adjunk meg annak az
lineáris leképezésnek az
mátrixát, amely a
egyenletű sík összes pontját a nullába viszi, és a síkra merőleges vektorokat pedig ötszörösére nyújtja, ahol
is és
is a szokásos bázis
-ban;
a szokásos bázis továbbá
is és
is a fent megadott bázis.
- HF Tekintsük azt a lineáris leképezést, amely tetszőleges pontot az
egyenletű síkra vonatkozó tükörképébe visz. Mi ennek a leképezésnek a mátrixa a szokásos bázisban, melynek elemei az
, az
és a
tengely irányába mutató egységvektorok?
- HF Legyen
a legfeljebb ötödfokú valós együtthatós polinomok tere. Vegyük azt az
leképezést, melynél
valamely rögzített
valós számokra. Határozzuk meg az összes olyan
párt, amire az
leképezés lineáris lesz.
- HF Egy
vektortér altere
. Igazoljuk, hogy létezik olyan
lineáris leképezés,
melynek
- amelynek képtere
,
- magtere
.
- HF Igazoljuk, hogy bármely
lineáris transzformáció esetén
pontosan akkor teljesül, ha
.
Fogaras Daniel
2002-12-02