Bevezetés a számításelméletbe
6. gyakorlat 2002, október 16.
 
 
Mátrixok, determináns

FONTOS! Jövő héten október 21-én a V2. épület 707-es teremben lesz gyakorlat. (Október 28-tól ismét a szokásos helyen.)

1. Számold ki az alábbi mátrixokat!
   

   $\left( \begin{tabular}{cc} 2 & -4\\ 1 & -2 \end{tabular}\right)^{2001}$

   $\left( \begin{tabular}{cc} 2 & -3\\ 1 & -2 \end{tabular}\right)^{2001}$

   $\left( \begin{tabular}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{tabular}\right)^n$

2. Legyen $A$ egy olyan mátrix, amelyben minden sorban és minden oszlopban az elemek összege 0, $B$ pedig egy olyan mátrix, amelynek minden eleme egyenlő. Mi lesz az $AB$, illetve a $BA$ szorzat, ha a szorzás elvégezhető?

3. Legyen $A$ egy $4 \times 3$ méretű mátrix továbbá $A'$-t úgy kapjuk $A$-ból, hogy egy $P$ mátrixszal szorozzuk. Melyik oldalról szorozzuk és milyen $P$ mátrixszal, ha azt szeretnénk, hogy
   1. $A'$ csak abban különbözzön $A$-tól, hogy benne a második és harmadik oszlopok fordított sorrendben szerepeljenek;
   2. $A'$-nek csak két sora legyen, melyek rendre az $A$ 1. és 3. illetve a 2. és 4. sorainak összegeként állnak elő.

4. Legyen $A$ egy $k \times n$ méretű mátrix és $x_i$ egy $n$ magas illetve $b$ egy $k$ magas vektor. Bizonyítsuk be az alábbi állításokat!
   1. Ha $x_1$ és $x_2$ megoldásai az $Ax=b$ egyenletrendszernek, akkor $\frac{1}{2}(x_1+x_2)$ is megoldás.
   2. Ha $x_0$ megoldása az $Ax=0$ homogén egyenletrendszernek és $x_1$ megoldása $Ax=b$-nek, akkor $x_1+x_0$ is megoldása $Ax=b$-nek.
   3. Ha $Ax=b$-nek egyértelmű a megoldása, akkor $A$ oszlopvektorainak rendszere lineárisan független.

5. A valós számok feletti $V$ vektortérnek egy bázisát alkotják a $b_1, \ldots, b_n$ vektorok. Legyen $v_1 = \alpha b_1 + b_2 + b_3 + \ldots +b_n$ , $v_2 = b_1 + \alpha b_2 + b_3 + \ldots + b_n$ , $\ldots$ , $v_n = b_1 + b_2 + b_3 + \ldots + b_{n-1} + \alpha b_n$ . Az $\alpha$ paraméter milyen értékeire lesz $v_1, v_2, \ldots, v_n$ szintén bázisa a $V$ vektortérnek?

6. HF Keressünk olyan $2\times 2$ méretű $A$ és $B$ mátrixokat, melyekre $AB=0$, de $BA \neq 0.$ (A csupa nullából álló mátrixot jelöli a 0 szimbólum.)

7. HF Az $n\times n$ méretű $A$ és $B$ mátrixokat felcserélhetőnek nevezzük, ha $AB=BA$ teljesül. Igazoljuk, hogy $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ pontosan akkor áll fenn, ha $A$ és $B$ felcserélhetők!

8. HF Tegyük fel, hogy $v_1, v_2, \dots, v_n$ egy lineáris tér valamely bázisa. Igaz-e, hogy bázist alkotnak az alábbi vektorok is?
   
   $$v_1-2v_2+v_3, \ v_2-2v_3+v_4, \ \dots,\ v_{i-1}-2v_i+v_{i+1},\ \dots,$$
   
   
   
   
   $$v_{n-2}-2v_{n-1}+v_n, \ v_{n-1}-2v_n+v_1,\ v_n-2v_1+v_2$$