Bevezetés a számításelméletbe
5. gyakorlat 2002, október 7.
 
 
Determinánsok

FONTOS! Jövő héten a Sch. Kupa miatt nincs gyakorlat. Utána október 21-én a V2. épület 707-es teremben lesz. (Október 28-tól ismét a szokásos helyen.)

1. Mi az alábbi polinomokban $x^3$ együtthatója?
   

   a)

   $\left\vert \begin{array}{cccc} 3x & 5 & 7 & 1 \\ 2x^2 & 5x & 6 & 2 \\ 1 & x & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 4 & 7 \end{array} \right\vert$

   b) HF

   $\left\vert \begin{array}{cccc} 3x^2 & 5 & 7 & 1 \\ 2x^2 & 5x & 6 & 2 \\ 1 & x & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 4 & 7 \end{array} \right\vert$

2. Melyik igaz az alábbi állítások közül?
   1. Ha egy $n \times n$ méretű mátrixnak az elemei racionális számok, akkor a determinánsa is racionális.
   2. Ha egy $n \times n$ méretű mátrixnak az elemei irracionális számok, akkor a determinánsa is irracionális.

3. Számítsuk ki az alábbi determinánsokat!
   

   a)

   $\left\vert\begin{array}{rr} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right\vert$

   b)

   $\left\vert \begin{array}{rrrr} 3 & 5 & 0 & 3 \\ 7 & 2 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & -4 & 0 & 7 \end{array} \right\vert$

   c)

   $\left\vert \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 10 \\ 1 & 4 & 10 & 15 \end{array} \right\vert$

4. Megválasztható-e $c$ értéke úgy, hogy az alábbi mátrix determinánsa ne nulla legyen?
   
   $$\left[ \begin{array}{ccc} c & c+1 & c+2 \\ c+3 & c+4 & c+5 \\ c+6 & c+7 & c+8 \end{array} \right]$$
   
   

5. Számítsuk ki az alábbi mátrixok determinánsát. A mátrixok $n \times n$-esek, a nem jelzett elemek értéke $0$.
   

   (a)	$a_{i,j}=i+j-1$
   (b)	$a_{i,j}=\min (i,j)$

   (c) HF	$a_{i,j:\,\,i+j\leq n+1}=a_{n,n}=1$
   (d) HF	$a_{i,j}=(i+j-1)^2$

6. Az $\mathbb{R}^4$ térnek generátorrendszerét alkotják-e az alábbi vektorok?
   
   $$\Big\{\, \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{array... ...begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 7 \\ 2 \end{array} \right)\, \Big\}$$
   
   

7. Legyen $A$ egy $n$ sorból és $n$ oszlopból álló valós mátrix. Ebben a $k$-adik sor $j$-edik elemét jelölje $a_{kj}$. Legyen $B$ az az $n$-szer $n$-es mátrix, amiben a $k$-adik sor $j$-edik eleme $b_{kj} = \frac{k}{j} a_{kj}$ $(1 \le k,j \le n)$ Mennyi $B$ determinánsa, ha tudjuk, hogy $A$ determinánsa 1? (ZH, 2000 november)

8. HF Egy $n \times n$ méretű mátrix mellékátlójának a jobb fölső és a bal alsó sarkot összekötő szakaszon lévő elemeket nevezik. Az $n \times n$ méretű $A$ mátrixról tudjuk, hogy mellékátlója alatt csak 0 szerepel, továbbá a mellékátlóban az $1,2, \ldots,n$ számok szerepelnek ebben a sorrendben. Határozzuk meg $\det A$ értékét!

9. HF Az $n \times n$ méretű $A$ mátrix minden eleme páros szám. Tudjuk, hogy $\det A$ osztható 64-gyel, de nem osztható 128-cal. Adjuk meg $n$ összes lehetséges értékét. (ZH példa, 1999 november)

10. HF Egy $n \times n$-es mátrix minden eleme -1 vagy 1. Bizonyítsuk be, hogy $n \geq 3$ esetén a mátrix determinánsa osztható néggyel. (Segítség: használjuk a kifejtési tételt és alkalmazzunk teljes indukciót.)

11. HF Az egyjegyű számokat tartalmazó $n \times n$-es mátrix minden sora $n$ jegyű számként is olvasható. Mi több, az így kapott számok mindegyike osztható $2002$-vel. Lássuk be, hogy a determináns is osztható $2002$-vel?