Bevezetés a számításelméletbe
4. gyakorlat 2002, szeptember 30.
 
 
Bázis, dimenzió, Gauss-elimináció

 

1. Hány közös pontja van az alábbi síkoknak?
   
   (a)

   $2x+3y-2z$	$=$	$4$
   $-3x-4,\!5y+3z$	$=$	$-2$

   (b)

   $x+y+z$	$=$	$6$
   $2x+3y-z$	$=$	$4$
   $-x-y+2z$	$=$	$1$

   (c)

   $x+2y+z$	$=$	$6$
   $2x+4y-z$	$=$	$4$

2. A $d$ paraméter mely értéke mellett függ lineárisan $v$ az $U$ vektorrendszertől?
   
   $$U=\Big\{\, \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{a... ...eft( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ d \end{array} \right).$$
   
   

3. Bizonyítsuk be, hogy ha a $V$ vektortérben az $A=\{a_1,a_2,\ldots,a_{k}\}$ egy lineárisan független rendszer és a $B=\{b_1,b_2,\ldots,b_{k+1}\}$ pedig egy generátorrendszer, akkor a két vektorrendszer közül pontosan az egyik bázist alkot $V$-ben!
4. Az $s$ paraméter mely értéke mellett bázisa $\Re^3$ térnek az alábbi vektorrendszer?
   
   $$\Big\{\, \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \... ...ft( \begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ s \end{array} \right) \Big\}$$
   
   

5. A $V$ vektortér két alterének, $V_1$-nek és $V_2$-nek a nullvektor az egyetlen közös eleme. Bizonyítsuk be, hogy $\dim V_1+\dim V_2 \le\dim V$.
6. Létezik-e olyan egyenes, amely az adott 3 sík mindegyikével párhuzamos? Ha igen, akkor adjuk meg közülük az origón átmenot.

   $2x+4y+3z$ $=$ $1$
   $x+7y+4z$ $=$ $3$
   $3x-5y-z$ $=$ $2$

7. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer megoldásait az $s$ és $t$ paraméterek függvényében!
   $$\begin{eqnarray*} sx+tz&=&2 \\ sx+sy+4z&=&4 \\ sy+2z&=& t \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

8. HF Oldjuk meg a Gauss-elimináció segítségével az alábbi egyenletrendszereket!
   
   (a)

   $x+-2y+z$	$=$	$-1$
   $6x+2z$	$=$	$3$

   (b)

   $x+3y-2z$	$=$	$4$
   $2x+8y-2z$	$=$	$-1$
   $3x+13y-3z$	$=$	$2$

9. HF Adott egy négy ismeretlenes homogén lineáris egyenletrendszer, melynek megoldásainak halmaza ${\cal S}$. Mutassuk meg, hogy ${\cal S}$ alterét alkotja az $\Re^4$ térnek!
10. HF
    1. Mutassuk meg, hogy az egyváltozós valós függvények terének alterét alkotják az $f(x)=a + b \cos x + c \cos^2 x$ alakú függvények, ahol $a,\, b,\, c$ tetszőleges valós konstansok.
    2. Igazoljuk, hogy a $B_1=\{1,\cos x, \cos^2 x\}$ és a $B_2=\{1,\cos x, \cos 2x\}$ vektorrendszerek bázisai az altérnek.
    3. Írjuk fel a $\frac{\sin^2 x}{2} + \frac{\cos x}{3}$ vektor koordinátáit a két bázisban.