Bevezetés a számításelméletbe
3. gyakorlat 2002. szeptember 22.
Generálás, generátorrendszer, lineáris függetlenség
- Mi a generátuma a térben az
és a
vektoroknak? Vektortér-e az így kapott halmaz?
- Legyen
egy vektorrendszer, ahol
Generálja-e
a
illetve az
vektorok valamelyikét? Generátorrendszer-e
a valós számhármasok (három magas számoszlopok) terén? Lineárisan független-e a az
vektorrendszer?
- Tegyük fel, hogy egy (tetszőleges)
vektortér
,
és
elemeire
fennáll. Igazoljuk, hogy
teljesül!
- Legyen
a
tér legalább két eleméből alkotott vektorrendszer. Melyik igaz az alábbi állítások közül?
- Ha
generátorrendszer
-ben, akkor
egy tetszőleges vektorát törölve ismét generátorrendszerhez jutunk.
- Ha
generátorrendszer
-ben, akkor
-hoz tetszőleges vektort hozzávéve ismét generátorrendszerhez jutunk.
- Ha
lineárisan független, akkor
egy tetszőleges vektorát törölve ismét lineárisan független rendszerhez jutunk.
- Ha
lineárisan független, akkor
-hoz tetszőleges vektort hozzávéve ismét lineárisan független rendszerhez jutunk.
- Bizonyítsuk be, hogy az alábbi vektorrendszer lineárisan független!
- Legyen
és
három olyan vektor, melyek lineárisan független vektorrendszert alkotnak. Bizonyítsuk be, hogy az
és
vektorokból alkotott rendszer is lineárisan független!
- HF Tegyük fel, hogy egy (tetszőleges)
vektortér
,
,
és
elemeire
. Melyek igazak az alábbi állítások közül?
-
;
-
;
-
;
-
.
- HF Legyenek
,
,
lineárisan
független vektorok
és
skalár egy vektortérben. Elkészítjük az
,
,
vektorokat. Határozzuk
meg,
hogy a
skalár mely értékei mellett lesz ez utóbbi három vektor
lineárisan független!
- HF Az
egy lineárisan független vektorrendszer, továbbá
egy vektor, valamely
skalárokkal. Bizonyítsuk be,
hogy
akkor és
csak akkor teljesül, ha
.
- HF Az
,
és
vektorok elemei,
pedig altere
egy
feletti véges dimenziós vektortérnek, továbbá
,
, de nem igaz, hogy
. Mutassuk meg, hogy
,
de nem igaz, hogy
!.
Fogaras Daniel
2002-10-24