Bevezetés a számításelméletbe
2. gyakorlat 2002. szeptember 16.
 
 
Vektorterek, koordináta geometria

 

1. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amelyik átmegy az origón és merőleges a $(2,3,4)$ vektorra! Írjuk fel az ezzel párhuzamos $(1,1,1)$ pontot metsző síkét is!

2. Írjuk fel a $(12,-1,9)$ ponton átmenő és az $x=3+7t$, $y=-8+5t$, $z=-t$ egyenletű egyenessel párhuzamos egyenes egyenletét. Állítsuk elő az egyenest két sík metszeteként is!

3. Határozzuk meg a 3 dimenziós térben az $(1,1,1)$ és $(2,2,4)$ pontokon átmenő egyenesnek és a $2x+3y-z=2$ egyenletű síknak a metszetét.

4. Legyen $V$ az origó középpontú körök halmaza hozzávéve az egyetlen pontból álló 0 sugarú és az egész síkot tartalmazó $\infty$ sugarú kört. Két kör összege egy olyan alakzat, amely a körök metszeteként áll elő. A $\lambda \in {\bf R}$ skalárral való szorzás eredményeként olyan körhöz jutunk, melynek sugara az eredeti $\vert\lambda\vert$-szorosa. (A $\infty$ sugarú körből mindig $\infty$ sugarú lesz.) Vektor tér-e $V$ a fenti műveletekkel?

5. Legyen $V$ a pozitív valós számok és $T$ a valós számok halmaza. Definiáljuk a $\oplus$ vektorok közti összeadást és a $\odot$ skalárral való szorzást a következőképpen:
   
   $$u\oplus v=uv,\ \lambda\odot v = v^\lambda,$$
   
   

   ahol az egyenlőségek jobb oldalán a valós számok szokásos szorzása, illetve hatványozása szerepel. Vektorteret kapunk-e így?

6. A vektortér axiómák segítségével igazoljuk, hogy egy $V$ vektortérben minden $v \in V$ vektorra
   1. $0 \cdot v= \vec{0},$
   2. $(-1)\cdot v= -v .$

7. Az $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ valós számnégyesekből alkotott térnek alterét alkotják-e azok a vektorok, melyekre teljesül
   
   $$\hbox{ (a) } 4 x_3 +5 x_4=1 \hbox{, \ \ \ illetve \ \ \ } \hbox{ (b) } 2x_1+3x_2= 4 x_3 \hbox{ ?}$$
   
   

8. Bizonyítsuk be, hogy egy vektortér két tetszőleges alterének metszete is alteret alkot.

9. Kifejezhető-e a $(4,0,-4)$, $(0,1,-1)$, $(1,1,-2)$ vektorokból a $(2,3,-5)$ illetve a $(5,6,7)$ vektorok valamelyike a skalárral való szorzás és az összeadás segítségével?

10. HF Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amelyik az $x$ tengelyt 4-nél, az $y$ tengelyt $-2$-nél és a $z$ tengelyt 7-nél metszi?

11. HF Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amelyik átmegy a $(-1,3,3),$ a $(-3,1,1),$ és a $(2,-2,3)$ pontokon!

12. HF Legyen $V$ az egész számok halmaza a szokásos összeadással. Továbbá a $\lambda$ skalárral való szorzás $\odot$ műveletét a $\lambda \odot v := \lfloor \lambda v \rfloor$ művelettel definiáljuk. Vektorteret alkot-e $V$ az előbbi műveletekkel?

13. HF Az $S=(a_0,a_1,\dots)$ valós számsorozatok vektorteret alkotnak a valós számtest felett, ahol a sorozatok összegét az elemek összegéből, a skalárszorosát az elemek skalárszorosából alkotott sorozatként értelmezzük. Alteret alkotnak-e a tér alábbi részhalmazai?
    1. $\{\, S \mid \exists \lim_{n\to \infty} a_n \, \}$
    2. $\{\, S \mid \lim_{n\to \infty} a_n = 0 \, \}$
    3. $\{\, S \mid \lim_{n\to \infty} a_n = 1 \, \}$

14. HF Legyen $V$ egy vektortér, melynek alterei $V_1$ és $V_2$. Tudjuk továbbá, hogy $V_1$ és $V_2$ közül egyik sem altere a másiknak. Igazoljuk, hogy $V_1 \cup V_2$ nem altere $V$-nek! Mutassunk példát az állításra a (szokásos) térben!