Bevezetés a számításelméletbe
2. gyakorlat 2002. szeptember 16.
Vektorterek, koordináta geometria
- Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amelyik átmegy az origón és merőleges a
vektorra! Írjuk fel az ezzel párhuzamos
pontot metsző síkét is!
- Írjuk fel a
ponton átmenő és az
,
,
egyenletű egyenessel párhuzamos egyenes
egyenletét. Állítsuk elő az egyenest két sík metszeteként
is!
- Határozzuk meg a 3 dimenziós térben az
és
pontokon átmenő egyenesnek és a
egyenletű síknak a metszetét.
- Legyen
az origó középpontú körök halmaza hozzávéve az egyetlen pontból álló 0 sugarú és az egész síkot tartalmazó
sugarú kört. Két kör összege egy olyan alakzat, amely a körök metszeteként áll elő. A
skalárral való szorzás eredményeként olyan körhöz jutunk, melynek sugara az eredeti
-szorosa. (A
sugarú körből mindig
sugarú lesz.) Vektor tér-e
a fenti műveletekkel?
- Legyen
a pozitív valós számok és
a valós számok
halmaza. Definiáljuk a
vektorok közti összeadást
és a
skalárral való szorzást a következőképpen:
ahol az egyenlőségek jobb oldalán a valós számok szokásos
szorzása, illetve hatványozása szerepel. Vektorteret kapunk-e így?
- A vektortér axiómák segítségével igazoljuk, hogy egy
vektortérben minden
vektorra
-
-
- Az
valós számnégyesekből alkotott térnek alterét alkotják-e azok a vektorok, melyekre teljesül
- Bizonyítsuk be, hogy egy vektortér két tetszőleges alterének metszete is alteret alkot.
- Kifejezhető-e a
,
,
vektorokból a
illetve a
vektorok valamelyike a skalárral való szorzás és az összeadás segítségével?
- HF Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amelyik az
tengelyt 4-nél, az
tengelyt
-nél és a
tengelyt 7-nél metszi?
- HF Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amelyik átmegy a
a
és a
pontokon!
- HF Legyen
az egész számok halmaza a szokásos összeadással. Továbbá a
skalárral való szorzás
műveletét a
művelettel definiáljuk. Vektorteret alkot-e
az előbbi műveletekkel?
- HF Az
valós számsorozatok vektorteret alkotnak a valós számtest felett, ahol a sorozatok összegét az elemek összegéből,
a skalárszorosát az elemek skalárszorosából alkotott
sorozatként értelmezzük. Alteret alkotnak-e a tér alábbi
részhalmazai?
-
-
-
- HF Legyen
egy vektortér, melynek alterei
és
. Tudjuk továbbá, hogy
és
közül egyik sem altere a másiknak. Igazoljuk, hogy
nem altere
-nek! Mutassunk példát az állításra a (szokásos) térben!
Fogaras Daniel
2002-10-24