Bevezetés a számításelméletbe
10. gyakorlat 2002, november 18.
Komplex számok
- Végezzük el az alábbi műveleteket!
- Ábrázoljuk a komplex számsík azon
pontjainak a halmazát, amelyekre teljesül, hogy
-
Im
-
-
-
- Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a komplex számok körében:
-
-
- HF
- HF
- Számítsuk ki a
számok trigonometrikus
alakjait.
- Legyen
és
a két nem valós harmadik
egységgyök. Számítsuk ki az
értékét,
- Mutassuk meg, hogy
- a 3-mal osztható számok ``ugyanannyian vannak'', mint az egészek;
- a komplex számok számok ``legalább annyian vannak'', mint az
egyenes pontjai.
- Bizonyítsuk be, hogy az alábbi halmazok megszámlálható (
) számosságúak.
- A sík egész koordinátájú pontjai;
- A sík racionális koordinátájú pontjai;
- A racionális számokból alkotott
-es mátrixok;
- Az egész koordinátájú háromszögek halmaza (egybevágó háromszögeket egyformáknak tekintünk);
- Azon bitsorozatok halmaza, amelyben véges sok 1-es fordul elő (de a sorozatok végtelen hosszúak).
- Legyen
pozitív egész. Számítsuk ki az összes
-edik egységgyök összegét és szorzatát!
- Mi a
komplex szám kanonikus
alakja?
- Hol helyezkednek el a kompex számsíkon a
egyenlet gyökei, ha a)
egy tetszőleges pozitív valós szám, b)
egy tetszőleges komplex szám?
- Mi a mértani helye a komplex számsíkon az
alakú számoknak, ha
befutja a valós számok halmazát? És ha az
alakú számokat nézzük?
Fogaras Daniel
2002-12-02