Bevezetés a számításelméletbe
10. gyakorlat 2002, november 18.
 
 
Komplex számok

 

1. Végezzük el az alábbi műveleteket!

   a)	$(2-i)(5i-3)$	b)	$\overline{(2+i)^3}$	c)	$\dfrac{4+i}{5-2i}$
   d)	$i^{18}$	e)	$\left\vert\dfrac{6+3i}{6-3i}\right\vert$	f)	$\dfrac{1}{2+3i}$

2. Ábrázoljuk a komplex számsík azon $z$ pontjainak a halmazát, amelyekre teljesül, hogy
   1. $-2 <$    Im $z < 1$
   2. $1 < \vert z\vert <2$
   3. $z \cdot \bar z=4$
   4. $z + \bar z >0$

3. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a komplex számok körében:
   1. $z^2=2i$
   2. $z^2+2z+3=0$
   3. $z+\bar z=2\vert z\vert$
   4. HF $\begin{vmatrix}z & z+1 \\ 2i &z+i \end{vmatrix}=0$
   5. HF $z^4-3z^2-1=0$

4. Számítsuk ki a $\root 5 \of {1+ i\sqrt 3}$ számok trigonometrikus alakjait.

5. Legyen $\epsilon_1$ és $\epsilon_2$ a két nem valós harmadik egységgyök. Számítsuk ki az $\epsilon_1^n+\epsilon_2^n$ értékét, $n=1,2,3,\dots$

6. Mutassuk meg, hogy
   1. a 3-mal osztható számok ``ugyanannyian vannak'', mint az egészek;
   2. a komplex számok számok ``legalább annyian vannak'', mint az $y=x$ egyenes pontjai.

7. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi halmazok megszámlálható ($\aleph_0$) számosságúak.
   1. A sík egész koordinátájú pontjai;
   2. A sík racionális koordinátájú pontjai;
   3. A racionális számokból alkotott $2\times 2$-es mátrixok;
   4. Az egész koordinátájú háromszögek halmaza (egybevágó háromszögeket egyformáknak tekintünk);
   5. Azon bitsorozatok halmaza, amelyben véges sok 1-es fordul elő (de a sorozatok végtelen hosszúak).

8. Legyen $n$ pozitív egész. Számítsuk ki az összes $n$-edik egységgyök összegét és szorzatát!

9. Mi a $z=(1-i)^{2000}-i(1+i)^{2002}$ komplex szám kanonikus alakja?

10. Hol helyezkednek el a kompex számsíkon a $z^n=c$ egyenlet gyökei, ha a) $c$ egy tetszőleges pozitív valós szám, b) $c$ egy tetszőleges komplex szám?

11. Mi a mértani helye a komplex számsíkon az $\frac{1+ti}{1-ti}$ alakú számoknak, ha $t$ befutja a valós számok halmazát? És ha az $\frac{1+ti}{t+i}$ alakú számokat nézzük?