\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\frenchspacing
\sloppy
\pagestyle{empty}

\setlength\marginparsep{0cm}
\setlength\oddsidemargin{0cm}
\setlength\evensidemargin{0cm}
\setlength\topmargin{-15mm}
\addtolength\textwidth{5.6cm}
\addtolength\hoffset{-0.9cm}
\addtolength\textheight{5cm}
\setlength\tabcolsep{2pt}
\setlength\arraycolsep{2pt}

\usepackage{amssymb}

\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE Bevezetés a számításelméletbe II.}
\\\vspace*{1mm}
9. gyakorlat, 2006. április 19.
\\\vspace*{1mm}
{\footnotesize Koblinger Egmont \texttt{<egmont@cs.bme.hu>}}

\vspace*{12mm}
\textbf{\LARGE Csoportok I.}
\end{center}

\vspace*{9mm}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{92}

\item Félcsoportot alkotnak-e az alábbi $R$ halmazok a $\circ$
műveletre nézve? Melyik csoport? Melyik Abel-csoport?
\begin{enumerate}

\item A $0 \ldots n-1$ számok a modulo $n$ összeadásra

\item A $0 \ldots n-1$ számok a modulo $n$ szorzásra

\item Az $1 \ldots n-1$ számok a modulo $n$ szorzásra

\item A síkvektorok halmaza $\bf{v} \circ \bf{w}=\bf{v}+\bf{w}$

\item $n \times n$-es mátrixok, $A \circ B=AB$

\item $n \times n$-es nemszinguláris mátrixok, $A \circ B=AB$
\end{enumerate}

\item Adjuk meg az összes 1, 2, 3, illetve 4 elemű nem izomorf csoport művelettábáját.

\item Értelmezzük az egész számok halmazán az $a \star b=a+b+1$ képlettel megadott műveletet.
Mutasd meg, hogy $(\mathbb{Z}, \star)$ csoport. Milyen korábbról ismert csoporttal izomorf
$(\mathbb{Z}, \star)$?

\item A $G$ csoport $e$ egységére és $x,y$ elemeire $x^2=e$ és
     $xyx^{-1}=y^3$. Bizonyítsuk be, hogy $y^8=e$.

\item Milyen a szimmetriacsoportja?

\begin{tabular}{llllllll}
(a)&háromszög;&$\qquad$&(c)&téglalap;&$\qquad$&(e)&kocka;\\

(b)&paralelogramma;&$\qquad$&(d)&deltoid;&$\qquad$&(f)&tetraéder.
\end{tabular}

\item Az alábbi következtetések közül melyek teljesülnek minden csoportban?

\begin{tabular}{llllllll}
(a)& $ax=ay \Rightarrow x=y$;& $\qquad$&
(d)& $xa=ya \Rightarrow x=y$;& $\qquad$&
(g)& $xa=ay \Rightarrow x=y$; \\
(b)& $abx=aby \Rightarrow x=y$;& $\qquad$&
(e)& $axb=ayb \Rightarrow x=y$;& $\qquad$&
(h)& $bxa=ayb \Rightarrow x=y$; \\
(c)& $ax=1 \Rightarrow x=a^{-1}$;& $\qquad$&
(f)& $abx=1 \Rightarrow x=a^{-1}b^{-1}$;& $\qquad$&
(i)& $abx=1 \Rightarrow x=b^{-1}a^{-1}$. \\
\end{tabular}

\item Bizonyítsuk be, hogy ha egy $G$ csoportban minden elem rendje 2, akkor $G$ kommutatív csoport.

\item Lássuk be, hogy ha $a$ és $b$ egy csoport elemei, akkor $a^{-1}ba$
     rendje megegyezik $b$ rendjével.

\item Legyen $G$ egy csoport és $a,b \in G$. Ekkor bizonyítsuk be, hogy
    \begin{enumerate}
    \item $o(a) =  o(a^{-1})\,$;
    \item $o(ab) = o(ba)\,$;
    \item $o(a) = o(b^{-1}ab)\,$;
    \item ha $G$ Abel-csoport, akkor $o(ab) \leq o(a) o(b)\,$.
    \end{enumerate}

\item Legyen $G$ egy csoport, és $G_1 \leq G,\, G_2 \leq G$. Ekkor igaz-e, hogy
    \begin{enumerate}
    \item $G_1 \cup G_2 \leq G$;
    \item $G_1 \cap G_2 \leq G$?
    \end{enumerate}

\item Van-e olyan $20$ elemű csoport, amelyben \\
\begin{tabular}{llllll}
(a)& van $5$ rendű elem, de nincs $20$ rendű elem; & $\qquad$&
(b)& van $20$ rendű elem, de nincs $5$ rendű elem?
\end{tabular}

\end{enumerate}

\end{document}
