Bevezetés a számításelméletbe II.

9. gyakorlat, 2006. április 19.

                                         Koblinger Egmont <egmont@cs.bme.hu>

Csoportok I.

93. Félcsoportot alkotnak-e az alábbi R halmazok a ∘ műveletre nézve? Melyik csoport? Melyik Abel-csoport? (a) A 0 … n − 1 számok a modulo n összeadásra

(b) A 0 … n − 1 számok a modulo n szorzásra

(c) Az 1 … n − 1 számok a modulo n szorzásra

(d) A síkvektorok halmaza v ∘ w = v + w

(e) n × n-es mátrixok, A ∘ B = AB

(f) n × n-es nemszinguláris mátrixok, A ∘ B = AB

94. Adjuk meg az összes 1, 2, 3, illetve 4 elemű nem izomorf csoport művelettábáját.

95. Értelmezzük az egész számok halmazán az a ⋆ b = a + b + 1 képlettel megadott műveletet. Mutasd meg, hogy (ℤ, ⋆) csoport. Milyen korábbról ismert csoporttal izomorf (ℤ, ⋆)?

96. A G csoport e egységére és x, y elemeire x^{2} = e és xyx^{−1} = y^{3}. Bizonyítsuk be, hogy y^{8} = e.

97. Milyen a szimmetriacsoportja?

(a) háromszög;  (c) téglalap;  (e) kocka;
(b) paralelogramma;  (d) deltoid;  (f) tetraéder.

98. Az alábbi következtetések közül melyek teljesülnek minden csoportban?

(a) ax = ay ⇒ x = y;  (d) xa = ya ⇒ x = y;  (g) xa = ay ⇒ x = y;
(b) abx = aby ⇒ x = y;  (e) axb = ayb ⇒ x = y;  (h) bxa = ayb ⇒ x = y;
(c) ax = 1 ⇒ x = a^{−1};  (f) abx = 1 ⇒ x = a^{−1}b^{−1};  (i) abx = 1 ⇒ x = b^{−1}a^{−1}.

99. Bizonyítsuk be, hogy ha egy G csoportban minden elem rendje 2, akkor G kommutatív csoport.

100. Lássuk be, hogy ha a és b egy csoport elemei, akkor a^{−1}ba rendje megegyezik b rendjével.

101. Legyen G egy csoport és a, b ∈ G. Ekkor bizonyítsuk be, hogy (a) o(a) = o(a^{−1}) ;

(b) o(ab) = o(ba) ;

(c) o(a) = o(b^{−1}ab) ;

(d) ha G Abel-csoport, akkor o(ab) ≤ o(a)o(b) .

102. Legyen G egy csoport, és G_{1} ≤ G, G_{2} ≤ G. Ekkor igaz-e, hogy (a) G_{1} ∪ G_{2} ≤ G;

(b) G_{1} ∩ G_{2} ≤ G?

103. Van-e olyan 20 elemű csoport, amelyben

(a) van 5 rendű elem, de nincs 20 rendű elem;  (b) van 20 rendű elem, de nincs 5 rendű elem?