Bevezetés a számításelméletbe I.

8. gyakorlat, 2005. november 5.

                                          Koblinger Egmont <egmont@cs.bme.hu>

Sajátdolgok

83. Adjuk meg a következő mátrix sajátértékeit, -vektorait és -altereit.

( \begin{matrix}0 & 0 & −2 \\ 3 & −2 & −3 \\ 6 & −6 & 1 \end{matrix} )

84. Adjuk meg az összes olyan p-t, amelyre az alábbi mátrixnak két különböző valós sajátértéke van. Számítsuk is ki a sajátértékeket p = 6 esetén.

( \begin{matrix}2 & −1 \\ p & −3 \end{matrix} )

85. Tekintsük a legfeljebb hatodfokú p(x) polinomok vektorterét. Határozzuk meg az ebben a vektortérben értelmezett következő lineáris transzformációk sajátdolgait.

(a) f(x) → 0

(b) f(x) → f′(x)

(c) f(x) → xf′(x)

86. Keressünk olyan 2 × 2-es, illetve 3 × 3-as valós mátrixot, melynek nincsen valós sajátértéke.

87. A négyzetes A mátrixra A = A^{3}. Bizonyítsuk be, hogy A-nak van sajátvektora, és sajátértékei csak a −1, 0, 1 lehetnek.

88. Tekintsük azt a lineáris transzformációt, amely a négydimenziós tér bázisvektorait ciklikusan egymásba viszi át. Mik ennek a transzformációnak a sajátdolgai?

89. Számítsuk ki A^{k} sajátértékeit és sajátvektorait minden 1 ≤ k ≤ n − 1 esetére, ha A-ra teljesül, hogy

A · ( x_{1} ; x_{2} ; ⋮ ; x_{n} ) = ( 0 ; x_{1} ; ⋮ ; x_{n−1} ).