Bevezetés a számításelméletbe II.

2002. április 18.

1. ZH! Bizonyítsuk be, hogy $1\cdot 19\cdot 37\cdot 55\cdot 73\cdots 271 + 1$ osztható 17-tel!

2. ZH! Legyen a valós számok halmazán értelmezve a következő művelet: $a\star b=ab+a+b$. Vizsgáljuk meg, hogy ez a művelet asszociatív-e, kommutatív-e, van-e egységeleme és hogy invertálható-e.

3. Félcsoportot, illetve csoportot alkotnak-e az adott halmazok az adott muveletekre nézve? Ha csoport, akkor kommutatív-e? Ha csoport, akkor adj meg egy részcsoportot is benne.
(a) (páros számok, +),
(b) (páros számok, ${\times}$ ),
(c) (pozitív számok, +)

4. ZH! Legyen a $G$ csoport elemeinek halmaza $\{1,2,3,4,5,6\}$, a művelet pedig a szorzás $\pmod{7}$. Igazoljuk, hogy $G$ ciklikus.



5. ZH! Legyen $G$ kommutatív csoport és $k$ rögzített pozitív egész szám. $U$ jelölje $G$ azon elemeinek halmazát, amelyek eloállnak valamely $G$-beli elem $k$-adik hatványaként, vagyis

$$U=\{u\in G: \exists g\in G, g^k=u\}.$$

Mutassuk meg, hogy $U$ részcsoport $G$-ben!

6. (a) Mik az egyes elemek rendjei a $12$ rendu ciklikus csoportban?
(b) ZH! Hány olyan eleme van a $C_n$ ciklikus csoportnak, ami egymaga generálja a teljes $C_n$ csoportot?

7. HF, ZH! Állapítsuk meg, hogy izomorf-e a mod 4 maradékosztályok additív csoportja a mod 8 maradékosztályok multiplikatív csoportjával!

8. Mi lesz $(tf^2)\times (tf^3)$ a szabályos ötszög egybevágóságait leíró csoportban (azaz $D_5$-ben, az ötödfokú diédercsoportban)?

9. ZH! Mutassuk meg, hogy az olyan kétszer kettes valós $A$ mátrixok, amelyekben a két foátlóbeli elem $1$-gyel egyenlo, a bal alsó sarokban pedig 0 áll (tehát $A_{1,1}=A_{2,2}=1$, $A_{2,1}=0$ és $A_{1,2}$ tetszoleges valós szám) csoportot alkotnak a mátrixszorzás muveletére nézve!

10. ZH! Igazoljuk, hogy egy csoport nem állhat elő két valódi részcsoportjának uniójaként.

11. Legyen $n\geq 4$. Az $n$ hosszú $0-1$ sorozatok halmazán jelölje $+$ a $\pmod{2}$ összeadást, azaz $a_1\cdots a_n+b_1\cdots b_n=c_1\cdots c_n$, ha $c_i\equiv a_i+b_i \pmod{2}$ teljesül minden $1\leq i\leq n$ esetén. Álljon $H_2$ azon $n$ hosszú $0-1$ sorozatokból, melyekben az egyesek száma osztható kettővel, $H_3$ pedig azon $n$ hosszú $0-1$ sorozatokból, melyekben az egyesek száma osztható hárommal. Az előbb definiált művelettel csoport-e $H_2$? És $H_3$?



12. ZH! Bizonyítsuk be, hogy $1998!+111^{1998}$ osztható 1999-cel!

13. Zárt-e az irracionális számok halmaza az összeadásra? Zárt-e a pozitív racionális számok halmaza az osztás műveletre? Van-e a pozitív racionális számok körében minden számnak inverze a szorzásra nézve? Van-e a nemnegatív egészek körében minden számnak inverze az összeadásra nézve?

14. A $\clubsuit \diamondsuit \heartsuit \spadesuit$ halmazon az ábrán megadott két műveletet értelmezzük (pl. $\diamondsuit+\clubsuit=\diamondsuit$).

1. Mennyi $((\spadesuit\times\diamondsuit)+\clubsuit)\times(\spadesuit+\diamondsuit)?$

2. Kommutatív illetve asszociatív-e ez a két művelet? Van-e egységelem?

3. Oldjuk meg a $(\heartsuit\times x) + \diamondsuit = \diamondsuit$ egyenletet!

$\parbox{15cm}{ \hbox{ \begin{tabular} {\vert c\vert\vert c\vert c\ve... ...\ & $\diamondsuit$\ & $\heartsuit$\ & $\spadesuit$\ \\ \hline \end{tabular}} }$

15. Csoportot alkotnak-e az alábbiak:

1. $0+ni, n+0i$, ($n$ egész) alakú komplex számok az összeadás művelettel
2. $0+ni, n+0i$, ($n\neq 0$ egész) alakú komplex számok a szorzás művelettel
3. $0+xi, x+0i$, ($x$ valós) alakú komplex számok az összeadás művelettel
4. $0+xi, x+0i$, ($x\neq 0$ valós) alakú komplex számok a szorzás művelettel
5. a valós számok a hatványozással

16. ZH! Álljon $A$ azokból a $2\times 2$ mátrixokból, melyeknek mind a négy eleme ugyanaz a pozitív valós szám. Csoportot alkot-e ez a halmaz a szokásos mátrixszorzással?

17. ZH! Az $n$-ed rendű ciklikus csoport összes elemét négyzetre emeljük, majd az így kapott elemeket össszeszorozzuk. Mivel egyenlő ez a szorzat?

18. ZH! Tekintsük az $f(x) = a x + b$ alakú lineáris függvényeket, ahol $a$ nem nulla valós, $b$ tetszoleges valós szám. Legyen a $\circ$ muvelet a függvények összetétele, azaz $(f \circ g) (x) = f(g(x))$. Igazoljuk, hogy erre a muveletre nézve az adott függvények csoportot alkotnak! Mi a csoport egységeleme?

19. * Igaz-e, hogy minden csoportban
(a) ${(ab)}^{-1}=b^{-1}a^{-1}$
(b) ${(ab)}^{2}=a^{2}b^{2}$
(c) Igaz-e ez kommutatív csoportban?
(d) Bizonyítsuk be, hogy ${(ab)}^{2}=a^{2}b^{2}$ pontosan akkor teljesül minden $a,b\in G$-re, ha $G$ kommutatív.
(e) Igaz-e ugyanez ${(ab)}^{4}=a^{4}b^{4}$-nel?

20. * Legyen $G$ csoport a $\cdot$ művelettel és legyen $u\in G$ egy kiválasztott elem $G$-ben. Csoport-e $G$ az $a\star b=a\cdot u\cdot b$ művelettel?

21. * Bizonyítsuk be, hogy tetszoleges prímre $\binom{2p}{p}\equiv 2\ \pmod p$.