Bevezetés a számításelméletbe II.

2002. május 2.

1. Bizonyítsuk be, hogy a mod 6 maradékosztályok gyûrût alkotnak a szokásos mod 6 összeadással és szorzással. Egységelemes-e ez a gyûrû? Kommutatív-e?

2. Van-e nullosztó a $Z_6$ gyûrûben?

3. Mutassuk meg, hogy az $n\times n$-es nem nulla determinánsú mátrixok nem alkotnak ferdetestet a szokásos mátrixmûveletekkel.


4. (a) Igaz-e, hogy ha $K$ egy ferdetest. akkor nullosztómentes?
(b) Igaz-e fordítva, azaz, hogy ha egy $K$ gyûrû nullosztómentes, akkor az ferdetest?

5. Melyik alkot gyurut, és melyik alkot testet? (Ha más nem szerepel, akkor a két muvelet az összeadás és a szorzás.)
(a) $\left (\begin{array}{cc} a& b\\ -b & a \end{array}\right )$ alakú mátrixok, ahol $a,b \in {\bf R}$,
(b) egész együtthatós polinomok,
(c) a mod $m$ maradékosztályok a mod $m$ mûveletekkel

6. Egy $x\not =0$ gyuruelem baloldali nullosztó, ha van olyan $y\not =0$, melyre $xy=0$. Legyen $x_1$ és $x_2$ baloldali nullosztó. Bizonyítsuk be, hogy $x_1x_2$ is baloldali nullosztó, de $x_1+x_2$ nem feltétlenül az!

7. HF! Az $[a,b]$ intervallumon folytonos függvények gyûrût alkotnak-e az összeadással és a szorzással? Egységelemes-e a gyûrû? Kommutatív-e? Van-e benne nullosztó?

8. Igazoljuk, hogy ha egy testben $a+a=0$ teljesül legalább egy $a\not= 0$ elemre, akkor minden elemre teljesül!


9. Gyurut vagy testet alkot a
$\{a+b\sqrt{2}: a,b \in {\bf Q}\}$ halmaz az összeadással és a szorzással?

10. Legyen $R$ egy nullosztómentes gyuru. Bizonyítsuk be, hogy
(a) ha egy $a$ elemre $a^2=a$, akkor $a=0$ vagy $a=1$.
(b) ha egy $a$ elemre $a^k=0$ (egy $k$ pozitív egészre), akkor $a=0$.
(c) Mutassuk meg, hogy nem nullosztómentes gyuruben a fentiek nem igazak!

11. A mod 12 maradékosztályok gyûrûjében melyik elemeknek van inverze?

12. * Bizonyítsuk be, hogy kommutatív testben minden elemnek legfeljebb két négyzetgyöke lehet. Igaz-e ez nem kommutatív testben?