Bevezetés a számításelméletbe II.
2002. május 2.
1. Bizonyítsuk be, hogy a mod 6 maradékosztályok gyűrűt alkotnak a szokásos
mod 6 összeadással és szorzással. Egységelemes-e ez a gyűrű? Kommutatív-e?
2. Van-e nullosztó a
gyűrűben?
3. Mutassuk meg, hogy az
-es nem nulla determinánsú mátrixok
nem alkotnak ferdetestet a szokásos mátrixműveletekkel.
4. (a) Igaz-e, hogy ha
egy ferdetest. akkor nullosztómentes?
(b) Igaz-e fordítva, azaz, hogy ha egy
gyűrű nullosztómentes, akkor az
ferdetest?
5. Melyik alkot gyurut, és melyik alkot testet? (Ha más nem
szerepel, akkor a két muvelet az összeadás és a szorzás.)
(a)
alakú mátrixok, ahol
,
(b) egész együtthatós polinomok,
(c) a mod
maradékosztályok a mod
műveletekkel
6. Egy
gyuruelem baloldali nullosztó, ha van olyan
, melyre
. Legyen
és
baloldali nullosztó.
Bizonyítsuk be, hogy
is baloldali nullosztó, de
nem
feltétlenül az!
7. HF! Az
intervallumon folytonos függvények gyűrűt alkotnak-e az
összeadással és a szorzással? Egységelemes-e a gyűrű? Kommutatív-e?
Van-e benne nullosztó?
8. Igazoljuk, hogy ha egy testben
teljesül legalább egy
elemre, akkor minden elemre teljesül!
9. Gyurut vagy testet alkot
a
halmaz az összeadással és a szorzással?
10. Legyen
egy nullosztómentes gyuru. Bizonyítsuk be, hogy
(a) ha egy
elemre
, akkor
vagy
.
(b) ha egy
elemre
(egy
pozitív egészre), akkor
.
(c) Mutassuk meg, hogy nem nullosztómentes gyuruben a fentiek
nem igazak!
11. A mod 12 maradékosztályok gyűrűjében melyik elemeknek van inverze?
12. * Bizonyítsuk be, hogy kommutatív testben minden elemnek
legfeljebb két négyzetgyöke lehet. Igaz-e ez nem kommutatív testben?
Csima Judit
2002-05-02