Bevezetés a számításelméletbe II.
2002. április 25.
1. Legyen
a komplex számok csoportja az összeadásra nézve,
pedig a valósok csoportja az összeadásra nézve.
(a) Mutasd meg, hogy
részcsoport
-ben.
(b) Mik
-ben a
szerinti mellékosztályok?
(c) Mutasd meg, hogy
normálosztó is és határozd meg
hogy melyik ismert csoporttal izomorf a
faktorcsoport.
2. ZH! Egy csoport rendje
és van olyan eleme, melynek
hatványa nem az egységelem. Bizonyítsuk be, hogy a csoport
kommutatív!
3. Jelentse
az
valós szám abszolút
értékét. Homomorfizmus-e az adott csoporton az
leképezés, ha
(a) a csoport a nem nulla valós számok a szorzásra nézve;
(b) a csoport a valós számok az összeadásra nézve?
Ha igen, mi lesz a leképezés képe és mi a magja, és mik
lesznek a mag szerinti mellékosztályok?
4. (a) Szorozzuk össze a két permutációt és az eredményt írjuk fel ciklikus módon:
.
(b) Írjuk fel diszjunkt ciklusok szorzataként az alábbi
permutációt:
!
(c) Az
hetedfokú szimmetrikus csoport egy eleme az
permutáció. Mi ennek az elemnek a rendje?
(d) Határozzuk meg az
permutáció inverzét!
5. Legyen
a komplex számok csoportja a szorzásra nézve,
pedig az egységnyi abszolut értékű komplexek halmaza.
(a) Mutasd meg, hogy
részcsoport
-ben.
(b) Mik
-ben a
szerinti mellékosztályok?
(c) Mutasd meg, hogy
normálosztó is és határozd meg
hogy melyik ismert csoporttal izomorf a
faktorcsoport.
6. ZH! Tudjuk, hogy a
csoport rendje 100, a
elemére pedig
teljesül, hogy
. Mit mondhatunk
-rol?
7. ZH! Legyen
egy csoport és
egy rögzített elem
-ben.
Bizonyítsuk be, hogy a
leképezés homomorfizmus. Mi lesz
ennek a magja és képe?
8. ZH! A 2001 rendű
csoportnak
egy 69 rendű részcsoportja, ami
egyben normálosztó is. Bizonyítsuk be, hogy a
faktorcsoport kommutatív!
9. ZH! Bizonyítsuk be, hogy ha a
csoport rendje 55, akkor minden
elemre teljesül, hogy az
és az
elemek rendje azonos.
10. Bizonyítsd be, hogy egy ciklikus csoport minden részcsoportja is ciklikus.
11. Van-e az
hatodfokú szimmetrikus csoportban kilencedrendu elem?
12. Legyen
az egész számok csoportja az összeadásra nézve,
pedig a hárommal osztható egészek halmaza.
(a) Mutasd meg, hogy
részcsoport
-ben.
(b) Mik
-ben a
szerinti mellékosztályok?
(c) Mutasd meg, hogy
normálosztó is és határozd meg
hogy melyik ismert csoporttal izomorf a
faktorcsoport?
13. ZH! Legyen
egy csoport, melynek rendje 55. Tudjuk még, hogy
-nek van legalább három különböző rendű eleme, melyek egyike sem az
egységelem. Bizonyítsuk be, hogy
kommutatív!
14. Bizonyítsuk be, hogy kommutatív csoportban minden részcsoport
normálosztó!
15. ZH! Legyenek
és
véges csoportok és
homomorfizmus
-ből
-ba. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
elemre a
elem
rendje osztható a
elem rendjével.
16. ZH! Legyen
egy 2001 rendű csoport és
egy 23-rendű
eleme. Határozzuk meg
rendjét! (
)
17. Hány normálosztója van a 15 rendű ciklikus csoportnak?
18. * (a) Legyen
egy csoport, és
egy eleme. Igazoljuk, hogy
rendje, ahol
tetszoleges egész szám, osztója
rendjének!
(b) Legyen
egy legalább kételemu véges csoport. Bizonyítsuk
be, hogy
-nek van olyan eleme, melynek rendje prímszám!
(c) Bizonyítsuk be, hogy ha egy csoportban minden egységelemtol
különbözo elem rendje ugyanaz, akkor ez az elem prím!
19. * Mely csoportokra lesz a
leképezés homomorfizmus?
20. * Legyenek
és
a
csoport normálosztói úgy, hogy közös
elemük csupán e
egységeleme. Lássuk be, hogy minden
és
esetén
.
21. * Mutassunk példát olyan végtelen rendű csoportra, mely tetszőleges
véges számra tartalmaz
-ad rendű elemet!
Csima Judit
2002-04-25