Bevezetés a számításelméletbe II.

2002. április 25.

1. Legyen $G$ a komplex számok csoportja az összeadásra nézve, $H$ pedig a valósok csoportja az összeadásra nézve.
(a) Mutasd meg, hogy $H$ részcsoport $G$-ben.
(b) Mik $G$-ben a $H$ szerinti mellékosztályok?
(c) Mutasd meg, hogy $H$ normálosztó is és határozd meg hogy melyik ismert csoporttal izomorf a $G/H$ faktorcsoport.

2. ZH! Egy csoport rendje $81$ és van olyan eleme, melynek $27.$ hatványa nem az egységelem. Bizonyítsuk be, hogy a csoport kommutatív!

3. Jelentse $\vert a\vert$ az $a$ valós szám abszolút értékét. Homomorfizmus-e az adott csoporton az $a\mapsto \vert a\vert$ leképezés, ha
(a) a csoport a nem nulla valós számok a szorzásra nézve;
(b) a csoport a valós számok az összeadásra nézve?
Ha igen, mi lesz a leképezés képe és mi a magja, és mik lesznek a mag szerinti mellékosztályok?

4. (a) Szorozzuk össze a két permutációt és az eredményt írjuk fel ciklikus módon:
$\left (\begin{array}{cccccccc} 1&2&3&4&5&6&7&8\\ 5&1&8&4&2&7&6&3 \end{array}\right )$

$\left (\begin{array}{cccccccc} 1&2&3&4&5&6&7&8\\ 5&2&1&8&7&4&6&3 \end{array}\right )$.
(b) Írjuk fel diszjunkt ciklusok szorzataként az alábbi permutációt: $(123)(345)(567)(781)$!
(c) Az $S_7$ hetedfokú szimmetrikus csoport egy eleme az $(12)(356)$ permutáció. Mi ennek az elemnek a rendje?
(d) Határozzuk meg az $(12)(345)(6789)$ permutáció inverzét!




5. Legyen $G$ a komplex számok csoportja a szorzásra nézve, $H$ pedig az egységnyi abszolut értékű komplexek halmaza.
(a) Mutasd meg, hogy $H$ részcsoport $G$-ben.
(b) Mik $G$-ben a $H$ szerinti mellékosztályok?
(c) Mutasd meg, hogy $H$ normálosztó is és határozd meg hogy melyik ismert csoporttal izomorf a $G/H$ faktorcsoport.

6. ZH! Tudjuk, hogy a $G$ csoport rendje 100, a $g$ elemére pedig teljesül, hogy $g^{21}=e$. Mit mondhatunk $g$-rol?

7. ZH! Legyen $(G, \cdot)$ egy csoport és $g\in G$ egy rögzített elem $G$-ben. Bizonyítsuk be, hogy a $\phi: G \rightarrow G, \phi(h)=g^{-1}hg$ leképezés homomorfizmus. Mi lesz ennek a magja és képe?

8. ZH! A 2001 rendű $G$ csoportnak $H$ egy 69 rendű részcsoportja, ami egyben normálosztó is. Bizonyítsuk be, hogy a $G/H$ faktorcsoport kommutatív!

9. ZH! Bizonyítsuk be, hogy ha a $G$ csoport rendje 55, akkor minden $a\in G$ elemre teljesül, hogy az $a$ és az $a^8$ elemek rendje azonos.

10. Bizonyítsd be, hogy egy ciklikus csoport minden részcsoportja is ciklikus.

11. Van-e az $S_6$ hatodfokú szimmetrikus csoportban kilencedrendu elem?



12. Legyen $G$ az egész számok csoportja az összeadásra nézve, $H$ pedig a hárommal osztható egészek halmaza.
(a) Mutasd meg, hogy $H$ részcsoport $G$-ben.
(b) Mik $G$-ben a $H$ szerinti mellékosztályok?
(c) Mutasd meg, hogy $H$ normálosztó is és határozd meg hogy melyik ismert csoporttal izomorf a $G/H$ faktorcsoport?

13. ZH! Legyen $G$ egy csoport, melynek rendje 55. Tudjuk még, hogy $G$-nek van legalább három különböző rendű eleme, melyek egyike sem az egységelem. Bizonyítsuk be, hogy $G$ kommutatív!

14. Bizonyítsuk be, hogy kommutatív csoportban minden részcsoport normálosztó!

15. ZH! Legyenek $G$ és $H$ véges csoportok és $\varphi$ homomorfizmus $G$-ből $H$-ba. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges $g\in G$ elemre a $g$ elem rendje osztható a $\varphi(g)$ elem rendjével.

16. ZH! Legyen $G$ egy 2001 rendű csoport és $g\in G$ egy 23-rendű eleme. Határozzuk meg $g^2$ rendjét! ( $2001=3\cdot 23\cdot 29$)

17. Hány normálosztója van a 15 rendű ciklikus csoportnak?

18. * (a) Legyen $G$ egy csoport, és $a$ egy eleme. Igazoljuk, hogy $a^k$ rendje, ahol $k$ tetszoleges egész szám, osztója $a$ rendjének!
(b) Legyen $G$ egy legalább kételemu véges csoport. Bizonyítsuk be, hogy $G$-nek van olyan eleme, melynek rendje prímszám!
(c) Bizonyítsuk be, hogy ha egy csoportban minden egységelemtol különbözo elem rendje ugyanaz, akkor ez az elem prím!

19. * Mely csoportokra lesz a $g\ensuremath{\rightarrow}g^2$ leképezés homomorfizmus?

20. * Legyenek $M$ és $N$ a $G$ csoport normálosztói úgy, hogy közös elemük csupán e $G$ egységeleme. Lássuk be, hogy minden $a\in M$ és $b\in N$ esetén $ab=ba$.

21. * Mutassunk példát olyan végtelen rendű csoportra, mely tetszőleges véges számra tartalmaz $k$-ad rendű elemet!