Bevezetés a számításelméletbe I.
Zárthelyi feladatok
2000. november 2.


  1. Adjuk meg, az $t$ paraméter értékétől függően, az alábbi egyenletrendszer megoldását.

    \begin{eqnarray*} x + 3y - z &=& 2 \\ 2x - 2y +6z &=& 12 \\ -3x - y +t\cdot z &=& 3 \end{eqnarray*}



  2. Határozzuk meg a 3 dimenziós térben az $(1,1,1)$ és $(2,2,4)$ pontokon átmenő egyenesnek és a $2x+3y-z=2$ egyenletű síknak a metszetét.
  3. Mely $z$ komplex számokra teljesül a $z^2 -i z +2 = 0$ egyenlet?
  4. Mi a $z=(1-i)^{2000} - i(1+i)^{2002}$ komplex szám kanonikus alakja?
  5. Legyen $A$ egy $n$ sorból és $n$ oszlopból álló valós mátrix, a $k$-adik sorának $j$-edik elemét jelölje $a_{kj}$. Legyen $B$ az az $n$-szer $n$-es mátrix, amiben a $k$-adik sor $j$-edik eleme $b_{kj} = \frac{k}{j} a_{kj}$ ( $1 \le k,j \le n$). Mennyi $B$ determinánsa, ha tudjuk, hogy $A$ determinánsa 1?
  6. A valós számhármasok vektorterében alteret alkotnak-e azok az $(x_1,x_2,x_3)$ vektorok, melyekre $x_1 = 2 x_2 - 3 x_3$ ?
  7. Legyen a $V$ térnek $a_1, a_2, \ldots, a_n$ egy bázisa. Tekintsük a következő $n$ vektort:

    \begin{displaymath}\begin{array}{lcl} b_i &=& a_i + a_{i+2} \ \ \mbox{ \rm ha } ... ...\\ b_{n-1} &=& a_{n-1}+a_1, \\ b_n &=& a_n + a_2. \end{array}\end{displaymath}

    (a) $n=3$ esetén bázist alkotnak-e a $b_1, b_2, \ldots, b_n$ vektorok?
    (b) $n=4$ esetén bázist alkotnak-e?
    (Szorgalmi feladat: általában $n$-re bázist alkotnak-e ? )
  8. Legyen $P_5$ a legfeljebb ötödfokú valós együtthatós polinomok tere. Vegyük azt az $f : P_5 \longrightarrow P_5$ leképezést, melynél $f(p(x)) = \alpha\cdot p'(x) +\beta$ valamely rögzített $\alpha, \beta$ valós számokra. Határozzuk meg az összes olyan $\alpha, \beta$ párt, amire az $f$ leképezés lineáris lesz. Ha $f$ lineáris leképezés, adjuk meg egy mátrixát is.

Bevezetés a számításelméletbe I.
Zárthelyi feladatok
2000. december 7.


  1. Határozzuk meg $x$ minden értékére az

    \begin{displaymath}\left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & x \end{array} \right) \end{displaymath}

    mátrix rangját!
  2. Egy ${\cal A} : V \rightarrow V$ lineáris transzformációt tükrözésnek hívunk, ha minden $v \in V$ vektorra ${\cal A}({\cal A}(v)) = v$. Bizonyítsuk be, hogy tükrözés mátrixának determinánsa nem lehet 0.
  3. Az $x_1^2 + a x_1 x_2 + 4 x_2^2$ kvadratikus alak az $a$ paraméter értékétől függően mikor milyen definit lesz?
  4. Bontsuk a sík összes egyeneseinek halmazát két részhalmazra: $H_1$-et alkossák az origón átmenő egyenesek, $H_2$-t a többi. Határozzuk meg $H_1$ és $H_2$ számosságát!
  5. Tíz gyerek hányféleképpen állítható úgy sorba, hogy Jancsi és Juliska egymás mellett álljanak?
  6. Rajzoljuk le azt a gráfot, melynek pontjai a 4 hosszú nullákból és egyesekből álló sorozatok és két csúcs akkor van éllel összekötve, ha egyik a másikból egy ``forgatással'' megkapható, azaz ha az egyik a $(b_1,b_2,b_3,b_4)$ akkor a másik a $(b_2,b_3,b_4,b_1)$ sorozathoz tartozó pont.
  7. Hány olyan páronként nem izomorf 6 pontú összefüggő egyszerű gráf létezik, melyben két másodfokú és négy harmadfokú pont van?
  8. Az előre megszámozott (címkézett) $n$ darab pont közé hányféleképp húzhatunk be éleket úgy, hogy egyszerű gráfhoz jussunk?