Bevezetés a számításelméletbe I.
Vizsgazárthelyi feladatok
2000. december 18.
- Legyen
,
két pont, a
ponton átmenő
egyenes egyenlete
.
Keressük meg az
egyenesen azokat a pontokat, melyekre az
háromszögben
teljesül!
- A kétezredik komplex egységgyökök közül hány olyan van, melynek
az ezredik hatványa is eggyel egyenlő?
- Igazoljuk, hogy ha az
-es
mátrixnak minden
eleme
vagy
, akkor
osztható
-gyel!
- Egy
lineáris transzformáció
vetítés, ha
teljesül minden
vektorra.
Adjunk példát olyan vetítésre, melynek mátrixához tartozó
kvadratikus alak pozitív szemidefinit!
- Tekintsük a síkon azon négyzetek halmazát, melyeknek legalább
az egyik csúcsa egész koordinátájú
(a pont mindkét koordinátája egész szám).
Mennyi ennek a halmaznak a számossága?
- Mennyi az
számjegyekből előállítható olyan
négyjegyű számok összege, melyekben mindegyik számjegy pontosan
egyszer fordul elő?
- Határozzuk meg hogy az alábbi gráfban hány különböző
minimális súlyú feszítőfa található!
- Síkbarajzolható-e az alábbi gráf? Ha igen rajzoljuk le úgy
a síkba, hogy élei egyenes szakaszok legyenek, ha
nem rajzolható síkba, bizonyítsuk ezt be.
Bevezetés a számításelméletbe I.
Vizsgazárthelyi feladatok
2001. január 2.
- Legyen
,
,
a tér három pontja.
Melyik az a
pont, melyre az
négyszög parallelogramma?
- Mely komplex számokra teljesül a
egyenlet?
- Tetszőleges valós
számra és tetszőleges pozitív egész
számra számítsuk ki az
mátrixot!
- Határozzuk meg az
mátrix sajátértékeit és a hozzájuk tartozó sajátaltereket!
- Mennyi az olyan végtelen hosszú
sorozatok halmazának
számossága, melyekben pontosan 5 darab egyes fordul elő?
- Hány hatra végződő néggyel osztható ötjegyű szám van?
- Ketten a következő játékot játszák.
Adott
pont, kezdetben semelyik kettő nincs összekötve.
A játékosok felváltva lépnek, minden lépésben a soron következő
játékos az
pont közül két tetszőlegesen választott közé behúz
egy élet. Az veszít, aki egy olyan élet húz be,
amitől a gráfban kör keletkezik.
A kezdő vagy a másodiknak lépő játékos fog nyerni, ha feltesszük,
hogy mindketten a lehető legjobban játszanak?
- Van-e olyan 9 pontú
gráf, hogy sem
, sem a komplementere
nem síkbarajzolható?
Bevezetés a számításelméletbe I.
Vizsgazárthelyi feladatok
2001. január 15.
- Számítsuk ki az
, a
és a
pontok által meghatározott háromszög
súlypontját!
Határozzuk meg a térnek azon pontjait, melyek rajta vannak az ABC síkra
az
pontban állított merőleges egyenesen!
- A kétezredik komplex egységgyökök között hány olyan van, melynek
az ötödik hatványa nem egyenlő eggyel?
- Mennyi az
-es
mátrix determinánsa, ha
- Legyen
egy
-as mátrix és legyen
.
Bizonyítsuk be, hogy a
-hez tartozó kvadratikus alak pozitív
definit vagy pozitív szemidefinit. Adjunk példát olyan
-ra, amikor
pozitív definit és olyan
-ra is,
amikor
pozitív szemidefinit de nem pozitív definit!
- Mennyi az olyan nullával kezdődő végtelen hosszú sorozatok halmazának
számossága, melyekben bármely két szomszédos tag különbsége
?
- Hányféleképpen tölthették ki azt a lottószelvényt, amelyen pontosan három
találat volt? (A lottón 90 számból húztak ki 5 számot.)
- A
(számozott) pontokon hány olyan
egyszerű
gráf adható meg, melynek
éle van és két
egyforma méretű összefüggő komponensből áll?
- Síkbarajzolható-e az alábbi gráf? Ha igen rajzoljuk le úgy
a síkba, hogy élei egyenes szakaszok legyenek, ha
nem rajzolható síkba, bizonyítsuk ezt be.