Bevezetés a számításelméletbe I.
Vizsgazárthelyi feladatok
2000. december 18.


  1. Legyen $A=(1,0,0)$, $B=(1,-2,3)$ két pont, a $B$ ponton átmenő $e$ egyenes egyenlete $(x-1)/5 = (y+2)/3 = z-3$. Keressük meg az $e$ egyenesen azokat a pontokat, melyekre az $ABC$ háromszögben $\overline{AB} = \overline{BC}$ teljesül!
  2. A kétezredik komplex egységgyökök közül hány olyan van, melynek az ezredik hatványa is eggyel egyenlő?
  3. Igazoljuk, hogy ha az $(n \times n)$-es $A$ mátrixnak minden eleme $+1$ vagy $-1$, akkor $\det A$ osztható $(2^{\textstyle n-1})$-gyel!
  4. Egy ${\cal A}: V \rightarrow V$ lineáris transzformáció vetítés, ha ${\cal A}({\cal A}(v)) = {\cal A}(v)$ teljesül minden $v \in V$ vektorra. Adjunk példát olyan vetítésre, melynek mátrixához tartozó kvadratikus alak pozitív szemidefinit!
  5. Tekintsük a síkon azon négyzetek halmazát, melyeknek legalább az egyik csúcsa egész koordinátájú (a pont mindkét koordinátája egész szám). Mennyi ennek a halmaznak a számossága?
  6. Mennyi az $1,2,3,4$ számjegyekből előállítható olyan négyjegyű számok összege, melyekben mindegyik számjegy pontosan egyszer fordul elő?
  7. Határozzuk meg hogy az alábbi gráfban hány különböző minimális súlyú feszítőfa található!
    \includegraphics{abra1.eps}

  8. Síkbarajzolható-e az alábbi gráf? Ha igen rajzoljuk le úgy a síkba, hogy élei egyenes szakaszok legyenek, ha nem rajzolható síkba, bizonyítsuk ezt be.
    \includegraphics{abra2.eps}

Bevezetés a számításelméletbe I.
Vizsgazárthelyi feladatok
2001. január 2.


  1. Legyen $A=(1,0,0)$, $B=(1,-2,3)$, $C=(3,2,-4)$ a tér három pontja. Melyik az a $D$ pont, melyre az $ABCD$ négyszög parallelogramma?
  2. Mely komplex számokra teljesül a

    \begin{displaymath}2 (z+\overline{z}) = \vert z\vert\end{displaymath}

    egyenlet?
  3. Tetszőleges valós $t$ számra és tetszőleges pozitív egész $k$ számra számítsuk ki az

    \begin{displaymath}\left(\begin{array}{cc} 1 & t \\ 0 & 2 \end{array}\right)^{\textstyle k} \end{displaymath}

    mátrixot!
  4. Határozzuk meg az

    \begin{displaymath} \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \end{displaymath}

    mátrix sajátértékeit és a hozzájuk tartozó sajátaltereket!
  5. Mennyi az olyan végtelen hosszú $0-1$ sorozatok halmazának számossága, melyekben pontosan 5 darab egyes fordul elő?
  6. Hány hatra végződő néggyel osztható ötjegyű szám van?
  7. Ketten a következő játékot játszák. Adott $n$ pont, kezdetben semelyik kettő nincs összekötve. A játékosok felváltva lépnek, minden lépésben a soron következő játékos az $n$ pont közül két tetszőlegesen választott közé behúz egy élet. Az veszít, aki egy olyan élet húz be, amitől a gráfban kör keletkezik. A kezdő vagy a másodiknak lépő játékos fog nyerni, ha feltesszük, hogy mindketten a lehető legjobban játszanak?
  8. Van-e olyan 9 pontú $G$ gráf, hogy sem $G$, sem a komplementere $\overline{G}$ nem síkbarajzolható?



Bevezetés a számításelméletbe I.
Vizsgazárthelyi feladatok
2001. január 15.


  1. Számítsuk ki az $A = (1,3,5)$, a $B=(2,0,1)$ és a $C=(3,0,3)$ pontok által meghatározott háromszög $S$ súlypontját! Határozzuk meg a térnek azon pontjait, melyek rajta vannak az ABC síkra az $S$ pontban állított merőleges egyenesen!

  2. A kétezredik komplex egységgyökök között hány olyan van, melynek az ötödik hatványa nem egyenlő eggyel?

  3. Mennyi az $(n \times n)$-es $A=(a_{i j})$ mátrix determinánsa, ha

    \begin{displaymath}a_{i j} = \left\{\begin{array}{ll} (i-j+1)^2\ \ & \mbox{\rm ha } i \ge j \\ 0 & \mbox{\rm ha } i < j \par\end{array}\right. \end{displaymath}

  4. Legyen $A$ egy $(2 \times 3)$-as mátrix és legyen $B = A A^T$. Bizonyítsuk be, hogy a $B$-hez tartozó kvadratikus alak pozitív definit vagy pozitív szemidefinit. Adjunk példát olyan $A$-ra, amikor $B$ pozitív definit és olyan $A$-ra is, amikor $B$ pozitív szemidefinit de nem pozitív definit!
  5. Mennyi az olyan nullával kezdődő végtelen hosszú sorozatok halmazának számossága, melyekben bármely két szomszédos tag különbsége $\pm 1$ ?
  6. Hányféleképpen tölthették ki azt a lottószelvényt, amelyen pontosan három találat volt? (A lottón 90 számból húztak ki 5 számot.)
  7. A $V=\{1,2, \ldots, 2n \}$ (számozott) pontokon hány olyan egyszerű $G$ gráf adható meg, melynek $2n-2$ éle van és két egyforma méretű összefüggő komponensből áll?
  8. Síkbarajzolható-e az alábbi gráf? Ha igen rajzoljuk le úgy a síkba, hogy élei egyenes szakaszok legyenek, ha nem rajzolható síkba, bizonyítsuk ezt be.
    \includegraphics{abra3.eps}