Algoritmuselmélet gyakorlat (5)

1. A 6 pontú G gráf csúcsait jelölje x,y,z,u,v,w. A gráf egy mélységi bejárásánál a mélységi, ill. a befejezési számok a következők: x: 1,6; y: 2,4; z: 6,5; u: 3,3; v: 4,1; w: 5,2. Adjuk meg a bejáráshoz tartozó mélységi feszítőfa éleit. Rekonstruálható-e G az előző számok ismeretében?

2. G irányítatlan gráf a következő éllistával (zárójelben a költségek, az élek mindkét végpontjukból fel vannak sorolva):
a:b(2),c(3); b:a(2),d(2); c:a(3),d(1); d:b(2),c(1),e(2),f(4); e:d(2),f(1),g(2); f:d(4),e(1),g(2),h(1); g:e(2),f(2),h(3); h:f(1),g(3);
Keressünk G-ben
(a) Prim algoritmusával minimális költségű feszítőfát! (b) Kruskal algoritmusával minimális költségű feszítőfát! (c) a-ból kiinduló mélységi feszítőfát! (d) a-ból kiinduló szélességi feszítőfát! (e) Határozzuk meg G artikulációs pontjait!

3. Adjuk meg az összes olyan minimális élszámú irányított gráfot (élsúlyokkal együtt), amely(ek)re az alábbi táblázat a Dijkstra-algoritmusban szereplő D[ ] tömb változásait mutathatja. Adja meg a legrövidebb utakat tartalmazó P[ ] tömb állapotait is.

v1	v2	v3	v4	v5	v6
0	2	6	$\infty$	$\infty$	7
0	2	5	9	$\infty$	6
0	2	5	6	9	6
0	2	5	6	8	6
0	2	5	6	7	6

4. Tegyük fel, hogy G egy összefüggő irányítatlan gráf, melynek minden mélységi feszítőfája egy egyszerű irányított út.
(a) Igazoljuk, hogy nincs G-nek artikulációs pontja (olyan csúcsa, melyet az összes belőle induló éllel együtt elhagyva G-ből, a kapott gráf már nem lesz összefüggő)!
(b) Mutassuk meg, hogy G nem szükségképpen teljes gráf!

5. Adott éllistával egy n pontú, e élű G összefüggő irányítatlan gráf. Adjunk O(e) uniform költségű algoritmust olyan $X\subset V(G)$ központi ponthalmaz keresésére, melyre $\vert X\vert\leq n/2$ teljesül! Az $X\subseteq V(G)$ egy központi ponthalmaz, ha G minden pontja vagy X-beli, vagy egyetlen éllel elérhető valamelyik X-beli pontból.

6. Legyen adott egy $n\times n$ pixelből álló fekete-fehér kép. Szeretnénk a képen a bal felső saroktól a jobb alsó sarokig egy jobbra-lefele haladó határvonalat húzni úgy, hogy a vonaltól jobbra-felfele eső fekete, valamint a vonaltól balra-lefele eső fehér pixelek számának az összege a lehető legkisebb legyen. Oldjuk meg ezt a feladatot O(n²) időben!

7. Éllistával adott a súlyozott élű G=(V,E) gráf. Tegyük fel, hogy az élek súlyai az 1,2,3 számok közül valók. Javasoljunk O(n+e) uniform költségű algoritmust az $s\in V$ pontból az összes további $v\in V$ pontokba vivő legrövidebb utak hosszának a meghatározására. (Itt n a G gráf csúcsainak, e pedig az éleinek a száma.)

8. A szoftverpiacon n féle grafikus formátum közötti oda-vissza konverzióra használatos programok kaphatók: az i-edik és a j-edik között oda-vissza fordító program ára a_ij, futási ideje pedig t_ij (ha létezik).
(a) Javasoljunk módszert annak megtervezésére, hogy minden egyes formátumról a saját grafikus terminálunk által megértett formátumra a lehető leggyorsabban konvertáljunk! (Az ár nem számít.)
(b) Javasoljunk módszert annak eldöntésére, hogy mely programokat vásároljuk meg, ha azt szeretnénk a lehető legolcsóbban megoldani, hogy a megvett programok segítségével bármelyik formátumról bármelyik más formátumra képesek legyünk konvertálni. (Itt a futási idő nem számít).

9. Az ország n különböző $X_1,X_2,\ldots ,X_n$ városában ma délután 4-kor futballmérkőzéseket fognak játszani. Egy televiziós társaságnak m operatőre van, akikről tudjuk, hogy délután 2-kor az $Y_1,Y_2,\ldots ,Y_m$ városokban lesznek. Adott a városok távolsága is, pontosabban ismert, hogy mennyi idő alatt lehet Y_i-ből X_j-be eljutni. Adjunk hatékony algoritmust arra, hogy a televiziós társaság minél több mérkőzést rögzíteni tudjon (az elejétől a végéig)! Elemezzük a módszer futási idejét!